По условию, блок должен состоять из 2 белых и 4 серых кирпичей. Однако, во всех вариантах ответа, кроме Г, использовано 3 белых и 3 серых кирпича. Поэтому блоки в этих вариантах ответа построить из данного набора кирпичей нельзя. А блок в ответе Г построить можно, что непосредственно легко видеть.

У того из детей, кто на рисунке стоит к нам спиной, левая рука находится слева. А у того, кто стоит лицом, левая рука на рисунке находится справа. Поэтому держит друг друга левой рукой только одна пара, отмеченная на рисунке.

Все зашифрованные в вариантах ответа числа – пятизначные. Поэтому достаточно рассмотреть ответы Б и Д, числа в которых начинаются с наибольшей цифры – цифры 9. Но в ответе Б следующие две цифры 85, а в ответе Д – 86. Поэтому наибольшим из зашифрованных чисел является число в ответе Д.

Хотя правильный ответ уже найден, приведём полные значения всех зашифрованных чисел: А) 15786,   Б) 98542,  В) 26847,   Г) 65742,   Д) 98651.

В слове KENGU пять разных букв и коробок тоже пять. Поэтому из каждой коробки Софья должна взять ровно одну букву. Из коробки №3 она может взять только букву N (см. рис.). Тогда из коробки №1 она может взять только букву E и, далее, из коробки №5 – только букву U. В результате из коробки №4 она должна взять G.

По-другому этот ответ можно получить так. Заметим, что буква K имеется только в коробке №2. Поэтому из этой коробки нужно взять именно K. А буква G, помимо коробки №2, из которой нельзя взять вторую букву, имеется только в коробке №4. Следовательно, из коробки №4 можно взять только G.

Ясно, что пазл с цифрой 1 должен быть самым левым, а с цифрой 0 – самым правым. Остальные три пазла располагаются между ними. Заметим при этом, что два пазла с цифрами 2 не могут быть соседними. Поэтому из данных пазлов можно сложить только такой прямоугольник, который приведён на рисунке.

Результат вычислений в получившемся примере равен 12 + 20 = 32.

На рисунке в условии задачи видно, что после одного оборота мерной ленты числа по вертикали увеличиваются на 21. Так, например, над числом 6 находится число 27 = 6 + 21. Тогда над числом 27 должно быть число 27 + 21 = 48, а над числом 48 (т. е. на месте, обозначенном знаком вопроса) – число 48 + 21 = 69.

Из условия следует, что фигуры нельзя поворачивать. Поэтому фигура не пройдёт через ворота ширины 3, если её ширина по какой-то из горизонталей больше 3. То есть не проходит, если в какой-то строчке между крайними чёрными кубиками фигуры находится более одного кубика (чёрного или белого). Такими фигурами являются A, C, D и E. На рисунке у них отмечены крестиками крайние клетки горизонталей, которые не проходят в ворота. У фигуры B по всем горизонталям ширина равна 3, и эта фигура проходит через ворота.

Во всех первых четырёх вариантах ответа на 1 часть зелёной краски приходится 3 части белой. Поэтому правильным является ответ Д все смеси дают один и тот же цвет.

На следующих рисунках показано, что каждый из трёх данных листов бумаги можно сложить так, что получится приведённый в условии задачи треугольник. Поэтому форма листа могла быть любая из указанных.

В варианте А) данный квадрат разбит штриховыми линиями на 4 равных квадрата. В свою очередь, один из них также разбит на 4 равных квадрата. Окрашенная клетка является четвёртой частью одного из последних. Поэтому её площадь составляет 1/4 ⋅ 1/4 ⋅ 1/4 = 1/64 от площади данного квадрата.

В варианте Б) данный квадрат разбит штриховыми линиями также на 4 равных квадрата. Один из них разбит вертикальной штриховой линией на два равных прямоугольника. Окрашенный треугольник по площади составляет половину от одного такого прямоугольника. Поэтому окрашенная часть составляет 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/4 = 1/16 от площади данного квадрата.

В варианте В) данный квадрат разбит вертикальной штриховой линией на два равных прямоугольника. Окрашенный треугольник по площади составляет половину от одного такого прямоугольника. Поэтому окрашенная часть составляет 1/2 ⋅ 1/2 = 1/4 от площади данного квадрата.

В варианте Г) данный квадрат разбит штриховыми линиями на 4 равных квадрата. Окрашенный треугольник составляет по площади половину от одной из таких четвертей. Поэтому окрашенная часть составляет 1/2 ⋅ 1/4 = 1/8 от площади данного квадрата.

Наконец, в варианте Д), легко видеть, площадь заштрихованной части составляет 1/4 от площади данного квадрата.

Видим, что правильным является ответ Г.

Данное число 5021972970 состоит из 10 цифр. Если его разбить на 3 части так, как сказано в условии задачи, то по крайней мере одно из слагаемых будет состоять не менее чем из 4-х цифр. Поэтому любая сумма полученных при разбиении чисел – не менее чем 4-значное число. Сумма будет тем меньше, чем меньше старшие цифры самых больших по количеству цифр слагаемых. Поэтому наименьшее 4-значное число, которым может оказаться одно из слагаемых, – это число 1972 (начинается с цифры 1). Соответствующее разбиение даёт сумму

502 + 1972 + 970 = 3444.

(Даже если допустить, что число может начинаться с цифры 0, то всё равно мы получаем сумму, не меньшую

5 + 02197 + 2970 > 5000 > 3444.)

Покажем, что сумма 3444 – наименьшая. Действительно, если хоть одно из слагаемых – 5-значное число, то сумма будет больше полученной. Если первое слагаемое является 4-значным, то сумма больше 5021 и, тем самым, больше 3444. Если второе и третье слагаемые – 4-значные числа, то соответствующая сумма

50 + 2197 + 2970 > 5000 > 3444.

Если только третье слагаемое 4-значное, то соответствующая сумма равна

502 + 197 + 2970 = 3669 > 3444.

Итак, наименьшая сумма равна 3444.

Суммарная длина трёх круговых маршрутов, проходящих через станции A, B и C, равна 10 + 12 + 13 = 35 км. Заметим, что эти три маршрута образованы в точности всеми дорогами на схеме, взятыми по одному разу. Если удалить из этих трёх маршрутов дороги, расположенные внутри схемы, то как раз останутся дороги, образующие круговой маршрут между станциями. А так как внутренние дороги образуют маршрут длиной 15 км, то маршрут между станциями имеет длину 35 – 15 = 20 км.

Выделим линию, идущую от левой стрелки в направлении этой стрелки, и линию, идущую от правой стрелки в противоположном к этой стрелке направлении (см. рис.).

Видим, что они обрываются в двух чёрных точках на границе отсутствующей плитки. Поэтому, чтобы получить нужный путь, необходимо, чтобы эти две точки соединялись линией непосредственно на плитке, которую следует положить в центр квадрата, или соединялись через две правые точки на границе отсутствующей плитки. (Линии, идущие вверх и вниз от границы отсутствующей плитки, не имеют общих точек с выделенными линиями и ведут за границы квадрата.) Легко видеть, что таким свойством не обладает только плитка Г.

Сумма четырёх указанных на рисунке чисел в вершинах левого шестиугольника равна

3 + 6 + 1 + 2 = 12.

Тогда сумма двух неизвестных чисел

a + b = 30 – 12 = 18.

Аналогично, сумма известных чисел в вершинах правого шестиугольника равна

4 + 9 + 6 + 4 = 23.

Тогда сумма двух неизвестных чисел

c + d = 30 – 23 = 7.

Тогда в среднем шестиугольнике сумма чисел в пяти вершинах

a + b + c + d + 1 = 18 + 7 + 1= 26.

Следовательно, шестое (искомое) число

x = 30 – 26 = 4.

Пусть h – высота данных прямоугольников. Тогда

6h = AB • h = 12 + 18 = 30,

откуда h = 30 : 6 = 5.

Далее, CD • 5 = CD • h = 18 + 22 = 40,

откуда находим CD = 40 : 5 = 8.

Заметим, что верхний шар пирамиды виден на всех боковых гранях. Им является шар А. Согласно условию, среди шаров есть ещё один шар с буквой А. Но других букв А среди указанных на рисунке нет. В то же время каждый из десяти шаров можно видеть хотя бы на одной боковой грани. Следовательно, на шаре, отмеченном знаком вопроса, должна быть буква А.

Заметим, что последний жетон, который положит Ваня, будет верхним в одной из стопок. То же самое можно сказать о последнем жетоне Ромы. Поэтому при любом ходе игры в одной стопке верхний жетон должен быть серым (последний ход Вани), а в другой – белым (последний ход Ромы). Следовательно, стопки в варианте ответа Д не могли получиться. Поскольку, по правилам конкурса, ровно один из ответов правильный, им является ответ Д.

Хотя правильный ответ уже найден, покажем, что стопки в других вариантах ответа получиться могли. Соответствующие примеры приведены ниже, числа на жетонах указывают номера ходов.

Комбинация В) 4906 начинается с цифры 4, которая на 2 меньше первой цифры полученной комбинации 6348. Если в комбинации 6348 уменьшить на 2 все цифры, получится комбинация 4126, которая может быть единственной начинающейся с цифры 4 правильной комбинацией. Следовательно, комбинация В) 4906 не может быть правильной.

Легко убедиться, что комбинации в других вариантах ответа могли быть правильным. Вообще, последовательно уменьшая в данной комбинации 6348 все цифры на 1 (при уменьшении цифры 0 происходит переход к цифре 9), можно выписать все комбинации, которые могут быть правильными. Они приведены ниже.

Коля взял 20 фруктов: яблок и груш. Если все его груши заменить всеми яблоками, которые достались Лёше, то у Коли снова будет 20 фруктов, поскольку всего в коробке было 20 яблок. Следовательно, у Коли столько груш, сколько яблок досталось Лёше. Видим, что утверждение Г верное.

Остальные ответы не являются заведомо верными, поскольку Коля мог взять любое количество груш от 0 до 20. В частности, он мог не взять ни одной груши, что противоречит А), и мог не взять 10 груш, что противоречит утверждениям Б), В) и Д).

По-другому найти правильный ответ можно так. Пусть Коля взял x груш. Тогда он взял 20 – x яблок. Остальные 20 – (20 – х) = х яблок достались Лёше. Видим, что у Коли столько же груш, сколько у Лёши яблок.

Дорога между X и Y разбита на 6 равных участков. По условию, время поезда на дорогу от X до Y составляет 180 минут, а от Y до X – 60 минут, что в 180 : 60 = 3 раза меньше. Это значит, что поезд от X до Y движется в 3 раза медленнее, чем встречный поезд. И пока он преодолеет 1 участок, встречный поезд преодолеет 3 участка. После этого их будут разделять 2 участка. Тогда, если поезд от X до Y преодолеет половину следующего участка, встречный поезд преодолеет 3 такие же половины. В результате вместе они покроют последние 2 участка. Видим, что поезда встретятся в середине второго слева участка. Следовательно, именно на этом участке следует построить разъезд. Таким образом, правильным является ответ Б.

Решение 1.

Согласно условию, Б (Боря) сидит не рядом с А (Аней) и не рядом с Г (Геной). При этом за столом сидят 5 человек. Поэтому пара А и Г сидит напротив Б, как показано слева на рис.1. Ещё два места отмечены знаком «?». Их занимают В (Валя) и Д (Дима). По условию, Г и Д сидят рядом. Поэтому рассадка всех пятерых (с точностью до симметрии) такая, как справа на рис.1. Видим, что рядом с В сидят А и Б. Таким образом, правильным является ответ А.

Решение 2.

Г и Д сидят рядом, как показано слева на рис.2. В не может быть рядом с Г, потому что тогда два оставшихся соседних места были бы для A и Б. Но, по условию, А и Б не сидят рядом. Точно так же В не может быть рядом с Д. Поэтому В сидит напротив пары Г и Д, как показано справа на рис.2. Тогда рядом с В на двух оставшихся местах (в каком-то порядке) сидят A и B.

Заметим, что в этом решении нам не понадобилось условие, что Б и Г не сидят рядом. Приведём ещё одно решение, которое не использует это условие.

Решение 3.

По условию, A и B не сидят рядом друг с другом и всего за столом сидит 5 человек. Поэтому с одной стороны между A и B сидит один человек (вверху на рис. 3), а с другой – два (внизу на рис. 3). Но Г и Д, по условию, сидят рядом. Поэтому они в каком-то порядке занимают два соседних места внизу на рис.3, а В занимает одиночное место вверху на рис.3. Видим, что В сидит между А и Б.

Согласно рецепту, для приготовления одного блина нужно 0,25 яйца, 0,04 л молока, 0,05 кг муки и 0,01 кг масла. Тогда 6 яиц достаточно для приготовления 6 : 0,25 = 24 блинов; 400 г (т.е. 0,4 кг) муки – для 0,4 : 0,05 = 8 блинов; 0,5 л молока – для 0,5 : 0,04 = 12,5 блинов; 200 г (т.е. 0,2 кг) масла – для 0,2 : 0,01 = 20 блинов. Видим, что из имеющихся ингредиентов Маша в полном соответствии с рецептом может приготовить самое большее 8 блинов.

Меньшая шестерёнка имеет 10 зубьев. Поэтому если она совершит полный поворот, т.е. поворот на 10 зубьев, по ходу часовой стрелки, то нижняя шестерёнка тоже совершит поворот на 10 зубьев, но против хода часовой стрелки, а тогда правая – на 10 зубьев по ходу часовой стрелки. Отсчитаем на этих шестерёнках по 10 зубьев в соответствующих направлениях (см. рис.). 10-ые зубья на них будут после поворота чёрными. Следовательно, правильным является ответ А.

Пусть яблоко весит Я (единиц веса), апельсин – А, груша – Г и персик – П. Тогда согласно условию задачи,

Я + А = Г + П,    (1)

Я + Г < А + П,    (2)

Г + А < Я + П.    (3)

Сложив (1) и (2), получим

Я + А + Я + Г < Г + П +А + П,

откуда Я < П. А тогда, согласно (1), Г < А.

Аналогично, складывая (1) и (3), после упрощения получим А < П, и тогда, согласно (1), Г < Я.

Четыре полученных неравенства можно записать как два двойных неравенства:

Г < Я < П,    (4)

Г < А < П.    (5)

Видим, что самый большой вес (П) имеет персик.

Единственные четыре оси симметрии квадрата – это прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и прямые, проходящие по диагоналям. Проведём эти прямые и будем последовательно отражать относительно них тройки закрашенных клеток. Результат показан на рисунке. Подсчёты показывают, что для получения требуемого рисунка нужно закрасить ещё не менее 21 клетки.

Если бы первое утверждение второго и третьего пиратов было ложным (они оба сказали «7 монет»), то, по условию задачи, их вторые утверждения были бы правдивыми. Но этого не может быть, потому что их вторые утверждения разные и, следовательно, не могут быть оба правдивыми. Следовательно, «7 монет» – правдивое утверждение. А тогда у первого пирата верным является второе высказывание: «6 бриллиантов». Таким образом, общее количество монет и бриллиантов у Серой Бороды равно 7 + 6 = 13.

Пусть вместимость большой бутылки равна Б дл, средней – С дл, маленькой – М дл. Тогда, согласно условию задачи,

3Б + 4М = 64,    (1)

2Б + 2С + 3М = 64,    (2)

4С + 6М = 64.    (3)

Из (3) следует

2С + 3М = 32.    (4)

А тогда, согласно (2), получаем

2Б + 32 = 64, откуда Б = 16.

Далее, согласно (1), получаем

3 • 16 + 4М = 64, или 12 + М = 16, откуда М = 4.

Поэтому, согласно (4),

2С + 3 • 4 = 32, или С + 6 = 16, откуда С = 10. То есть объём средней бутылки 10 дл.

На рисунке видно, что по три красные линии будут на всех кубиках в вершинах данного куба. Число таких кубиков равно числу вершин куба и равно 8. Кроме того, красные линии будут на 9 внутренних кубиках каждой из шести граней куба (см. рис.). Число таких кубиков равно 9 · 6 = 54. Всего с красными линиями будет 8 + 54 = 62 кубика.

Сумма чисел на всех десяти жетонах равна

1 + 2 + … + 10 = 55.

Это на 55 – 36 = 19 больше суммы названных чисел. Один тролль, солгав, может уменьшить число на жетоне не более чем на 10 – 1 = 9 (при условии, что у него жетон с числом 10). Два тролля могут уменьшить эту сумму не более чем на 9 + 8 = 17 (при условии, что у них жетоны с числами 10 и 9). Следовательно, троллей в группе не менее трёх. С другой стороны, если в группе ровно три тролля и если они, например, получили жетоны с числами 10, 9 и 8, а назвали соответственно числа 1, 1 и 6, то сумма всех названных чисел будет равна

1 + 2 + … + 7 + 6 + 1 + 1 = 36.

Таким образом, наименьшее число троллей в группе равно 3.

На рисунках показано, что карточки А) – Г) (на рисунках они заштрихованы) в данном прямоугольнике быть могли. Здесь приведены только 4 карточки в левом верхнем углу прямоугольника. Что касается остальных карточек, то две карточки справа и две карточки ниже будем считать симметричными соседним карточкам на данных рисунках. Карточка в правом нижнем углу при этом может быть симметричной одновременно и левой, и верхней карточкам, как в примере Г) на рисунке выше. В результате все условия задачи будут соблюдены.

Таким образом, согласно правилам конкурса, верным является ответ Д. Покажем, тем не менее, что это действительно так. Обратим внимание, что в левом верхнем углу карточки Д) находится квадрат. Впишем квадраты в прямоугольнике из условия в те клетки, в которых они заведомо должны быть, и отметим крестиком те клетки, в которых их заведомо быть не может (см. рис. 1). Учитывая расположение квадрата на карточке Д), видим, что она могла бы располагаться только в центре прямоугольника. Поместим её туда и впишем в соответствующие клетки карточек слева и справа те фигурки, которые, по условию, в них должны быть (см. рис. 2). Видим, что тогда в карточке слева должно быть две звёздочки. Противоречие.