Ось симметрии знака зодиака Стрелец показана на рисунке. Знаки зодиака в других вариантах ответа осей симметрии не имеют. Можно лишь отметить, что Рак имеет центр (но не ось) симметрии.

Отобразим симметрично относительно общего центра данных кругов серые фрагменты, расположенные ниже горизонтального диаметра. Другими словами, перекрасим их в белый цвет, а симметричные им (изначально белые, на рисунке заштрихованные) фрагменты перекрасим в серый цвет. В результате вся верхняя половина круга станет серой, а нижняя – белой. Следовательно, закрашена половина, т.е. 50% площади большего круга.

Существует 6 таких чисел: 1234, 2345, 3456, 4567, 5678 и 6789.

Понятно, что одна из двух плиток с цифрой 2 должна быть крайней левой, а другая – крайней правой. Далее, с крайней левой плиткой может быть соединена справа только плитка со знаком «–», а с крайней правой может быть соединена слева только плитка с цифрой 0. Тогда среднее место займёт плитка с цифрой 1. В результате получаем выражение 2 – 102.

Его значение равно –100.

Мысленно проведём горизонтальные плоскости на уровне, равном половине высоты данных фигур (ваз). Фигуры Б), В) и Д) симметричны относительно этой плоскости. Поэтому уровень воды в этих вазах совпадает с уровнем данной плоскости. У фигуры А) нижняя часть (т.е. часть, расположенная ниже данной плоскости) уже, чем верхняя. Поэтому объём нижней части меньше объёма верхней части, и, значит, уровень жидкости в данной вазе выше уровня данной плоскости. А у фигуры Г) – всё наоборот. Следовательно, самый высокий уровень воды – в вазе А).

В условии дано: AB + CD = 137, и нужно найти ADCB + CBAD. Заметим, что у данных 4-значных чисел цифры в разрядах единиц такие же, как у чисел AB и CD. То же самое верно и для цифр десятков. Далее, цифры сотен совпадают с цифрами единиц, а цифры тысяч – с цифрами десятков. Поэтому

ADCB + CBAD = 13700 + 137 = 13837 (см. также рис.).

Сначала уберём фигуру, состоящую из белых кубиков, затем – из чёрных (см. рис.). Сравнивая полученный результат с вариантами ответа, видим, что правильным является ответ Д.

На каждом кольце находится 10 цифр. Если повернуть все кольца замка на 180° в направлении увеличения цифр, то цифры на них увеличатся на 5. Но после цифры 9 следует цифра 0. Поэтому в том в случае, когда при добавлении 5 будет получаться двузначное число, нужно заменить его последней цифрой полученной суммы. Проделав такие преобразования с числом 6348, получим число 1893.

По-другому ответ можно получить так. Выпишем числа от 0 до 9 по кругу так, как они расположены на кольце.

После поворота кольца на 180° все цифры поменяются местами с диаметрально противоположными. На рисунке стрелками показано, во что перейдут цифры числа 6348. Видим, что в результате получится число 1893.

Условие задачи можно представить в виде схемы:

Здесь А, Б, В, Г и Д – заглавные буквы имён Аня, Боря, Вася, Гена и Дима. Стрелки направлены в сторону того, кто выше. Число над стрелкой указывает разницу в росте (в см). Видим, что разница в росте Ани и Димы составляет

5 +10 +10 + 5 = 30 см. Таким образом, правильным является ответ Д Аня на 30 см ниже Димы.

Так как две полные полоски, которые отломал от шоколадки Коля, состояли из 12 долек, то на одной полоске было 6 долек. Значит, одна из сторон шоколадки равна 6 (примем сторону одной дольки за 1). Далее, Дима отломал от полученного куска полоску, состоящую из 9 долек. Значит, ему от Коли достался кусок 6 × 9, а после того, как он съел отломанную полоску, остался кусок 5 × 9. То есть остался кусок, состоящий из 5 · 9 = 45 долек.

Заметим, что во втором случае воды в банке на 4/5 – 1/5 = 3/5 больше. При этом общий вес банки с водой больше на 740 – 560 = 180 г. Поэтому вода, заполняющая 3/5 банки, весит 180 г. Значит, вода, заполняющая 1/5 банки (именно столько её в первом случае), весит 180 : 3 = 60 г. Поэтому вес банки без воды равен 560 – 60 = 500 г.

По-другому задачу можно решить, составив уравнения. Пусть пустая банка весит Б г, а вода, заполняющая пятую часть банки – В г. Тогда, согласно условию,

Б + В = 560   и   Б + 4В = 740.

Вычитая из второго уравнения первое, получаем 3В = 180, откуда В = 60. Тогда из первого уравнения

Б = 560 – 60 = 500.

Согласно условию, данный квадрат есть квадрат 4 × 4. Разобьём его на единичные клетки (рис. 1). Цветок состоит из 4 одинаковых лепестков. Один лепесток вписан в квадрат 2 × 2 так, как показано на рис. 2. Сторонами клеток он разбит на 3 части: четырёхугольник и два равных треугольника (с катетами 1 и 0,5). Эти треугольники, очевидно, равны заштрихованным треугольникам. Поэтому площадь одного лепестка равна площади одной клетки, т.е. равна 1 см². Поэтому площадь всего цветка равна 4 см².

По-другому площадь цветка можно найти так. Данный квадрат площади 16 см² состоит из четырёх угловых квадратов площади 1 см2, четырёх равных белых треугольников и цветка (см. рис. 1). Сторона одного белого треугольника, лежащего на стороне данного квадрата, равна 2 см. Высота треугольника, проведённая к этой стороне, также равна 2 см. Поэтому площадь треугольника равна

0,5 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 см².

Тогда площадь цветка равна

16 − 4 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 = 4 см².

Если бы не было перекрытий, то забор имел бы длину 25 • 30 = 750 дм. Но, по условию, его длина оказалась равна 690 дм. Следовательно, перекрытия составляют 750 – 690 = 60 дм. Число перекрытий при соединении 25 досок равно 24. Поэтому длина одного перекрытия равна 60 : 24 = 2,5 дм.

Бóльшие из пяти острых углов данных треугольников имеют общую вершину и образуют вместе угол в 360°. Поэтому бóльший угол треугольника равен 360° : 5 = 72°. Тогда меньший угол равен 90° – 72° = 18°. Поэтому, чтобы построить звезду, соединив аналогичным образом острые углы таких треугольников, понадобится 360° : 18° = 20 треугольников.

Пусть сторона верхнего квадрата (с вершиной B) равна a. Тогда сторона квадрата с вершиной A равна a + 1; сторона квадрата с вершиной С равна a + 2; сторона квадрата с вершиной D равна a + 3 (см. рис.). Поэтому

h = CD – AB = (a + 2) + (a + 3) – (a + 1) – a = 4.

Пусть Эрик правильно ответил на a вопросов и неправильно на b вопросов (a и b – целые неотрицательные числа). Тогда, согласно условию,

a + b ≤ 20   и   7a – 4b = 100.

Из полученного равенства следует, что b ≠ 0, иначе 7a = 100, что невозможно, так как 100 не делится на 7. Далее, поскольку 100 делится на 4, из данного равенства следует, что a делится на 4. Пусть a = 4n, где n – целое неотрицательное число. Тогда

7 · 4n – 4b = 100, или 7n – b = 25,

откуда следует, что n ≥ 4, иначе левая часть последнего равенства заведомо меньше 25 (противоречие). С другой стороны, n не может быть больше 4, иначе

a = 4n ≥ 4 · 5 = 20, и тогда a + b > 20, так как b > 0. Следовательно,

n = 4   и   b = 7 · 4 – 25 = 3.

Тогда a + b = 4 · 4 + 3 = 19. Поэтому Эрик оставил без ответа 20 – 19 = 1 вопрос.

Задачу можно решить и без составления уравнений и неравенств. Если Эрик набрал 100 баллов, то он правильно ответил не менее чем на 15 вопросов. Действительно, за другие вопросы (без ответа и с неправильными ответами) он либо не получал баллов, либо получал штрафные баллы, которые только уменьшают сумму. Поэтому если бы правильных ответов было не более 14, то сумма набранных баллов была бы не больше 14 · 7 = 98. Далее, пусть Эрик правильно ответил ровно на 15 вопросов. Тогда за них он получил 15 · 7 = 105. Получаем лишние 105 – 100 = 5 баллов. Но 5 не делится на 4, и поэтому лишние баллы нельзя убрать за счёт неправильных ответов. Значит, правильных ответов больше 15. Пусть Эрик правильно ответил ровно на 16 вопросов. Тогда за них он получил 16 · 7 = 112 баллов. Если при этом он неправильно ответил на

(112 – 100) : 4 = 3 вопроса, то в результате у него получается ровно 100 баллов, как и требуется. При этом у него остаётся

20 – 16 – 3 = 1 вопрос без ответа. Если бы Эрик ответил правильно на 17 или более вопросов, то даже если бы он на все остальные вопросы ответил неправильно, он набрал бы не менее

17 · 7 – 3 · 4 = 107 баллов, что противоречит условию. Видим, что есть только одна возможность получить 100 баллов, при которой только 1 вопрос оставлен без ответа.

Отрезки AB и BD вместе составляют большую сторону данной полоски 4 × 13 (см. рис.). Поэтому AB + BD = 13. Далее, длина отрезка BC равна ширине данной полоски и, значит, BC = 4. Тогда

x + 4 + y = 13, откуда y = 9 – x.

Так как, по условию P = 2Q, имеем:

4x = 2 · 4(9 – x),   или   x = 18 – 2x,   или   3x = 18, откуда x = 6.

По условию, яблок в два раза больше, чем груш, и Кристина получила фруктов в два раза больше, чем Лиля. Поэтому один из способов, как могли распределиться фрукты: все яблоки достались Кристине, а все груши – Лиле. Теперь, любое другое распределение фруктов между Кристиной и Лилей, не меняющее соотношение фруктов x = 6, можно получить, если Кристина отдаст Лиле несколько своих яблок и получит от неё столько же груш. Это показывает, что верно утверждение у Кристины столько груш, сколько яблок у Лили.

Пусть длины дорог между данными деревнями равны x, y и z км, как показано на рисунке. Тогда, согласно условию,

y + z = x + 1,    (1)

y + x = z + 5,    (2)

z + x = y + 7.    (3)

Сложив (1) и (2), получим

2y + z + x = x +z + 6,

т.е. 2y = 6, откуда y = 3. Аналогично, сложив (1) и (3), получим z = 4. Наконец, сложив (2) и (3), получим x = 6. Видим, что длина самой короткой дороги равна 3 км.

Пусть a/b данная дробь. После увеличения числителя a на 40% он станет равен 1,4a. Пусть x – знаменатель новой дроби, удовлетворяющей условию задачи. Тогда

1,4a/x = 2⋅a/b, откуда 1,4b = 2x, или x = 0,7b. Это означает, что x составляет 70% от b. Следовательно, знаменатель b нужно уменьшить на 100% – 70% = 30%.

Верхний шар пирамиды можно видеть на всех трёх боковых гранях, другие шары на боковых рёбрах видны на двух боковых гранях, центральный шар и два средних нижних шара боковой грани видны только на одной грани. Единственный шар, который не виден ни на одной боковой грани, – это центральный шар нижней грани. Его метку и нужно определить. Учитывая сделанные наблюдения, можно определить, что на боковых гранях пирамиды находится только 3 шара D и по 4 шара с остальными метками. Соответствующие подсчёты приведены в таблице.

Следовательно, центральный шар нижней грани имеет метку D.

Обозначим пятизначное число ABCDE через x. Тогда данное шестизначное число

2ABCDE = 200000 + x, а шестизначное число

ABCDE2 = 10x + 2. Согласно условию,

3 (200000 + x) = 10x + 2.

Решая это уравнение, получаем:

600000 + 3x = 10x + 2, или

599998 = 7x, откуда x = 85714. Тогда данное шестизначное число – это число 285714. Его сумма цифр равна

2 + 8 + 5 + 7 + 1 + 4 = 27.

По-другому цифры числа ABCDE можно определить так. Из равенства

3 · 2ABCDE = ABCDE2 видим, что 3 · E заканчивается на 2. Это возможно, только если E = 4. В результате имеем:

3 · 2ABCD4 = ABCD42. Рассмотрим две последние цифры. Произведение 3 · D4 должно заканчиваться на 42. Так как

3 · 4 = 12   и   42 – 12 = 30, то 3 · D должно заканчиваться на  3. Подходит только D = 1. Теперь имеем:

3 · 2ABC14 = 2ABC142. Произведение 3 · С14 должно заканчиваться на 142. Так как

3 · 14 = 42   и   142 – 42 = 100, то 3 · C должно заканчивать на 1. Подходит только C = 7. Поэтому имеем:

3 · 2AB714 = 2AB7142. Произведение 3 · B714 должно заканчиваться на 7142. Так как

3 · 714 = 2142   и   7142 – 2142 = 5000, то 3 · B должно заканчиваться на 5. Подходит только B = 5. Наконец, имеем:

3 · 2A5714 = 2A57142. Произведение 3 · A5714 должно заканчиваться на 57142. Так как

3 · 5714 = 17142   и   57142 – 17142 = 40000, то 3 · A должно заканчиваться на 4. Подходит только A = 5. Таким образом, число 2ABCDE = 285714, его сумма цифр равна 27.

Пусть в коробке находится З зелёных, К красных, С синих и Ж жёлтых фишек. Поскольку среди любых 27 фишек в коробке есть хотя бы одна зелёная, то число других фишек не больше 26. В противном случае, можно было бы выбрать 27 не зелёных фишек. Имеем неравенство:

К + С + Ж ≤ 26.

Аналогично получаем ещё три неравенства:

З + С + Ж ≤ 24,

З + К + Ж ≤ 21 и

З + К + С ≤ 16.

Сложив все эти четыре неравенства, получим:

3 · (З + К + С + Ж) ≤ 87, откуда

З + К + С + Ж ≤ 29.

Итак, в коробке не более 29 фишек.

Попробуем составить нужный набор ровно из 29 фишек. В этом случае все выше полученные неравенства должны быть равенствами. Тогда

З + К + С + Ж = 29, и если

К + С + Ж = 26, то

З = 29 – 26 = 3; если

З + С + Ж = 24, то

К = 29 – 24 = 5; если

З + К + Ж = 21, то

С = 29 – 21 = 8; если

З + К + С = 16, то

Ж = 29 – 16 = 13.

Видим, что набор из 29 фишек существует и, значит, правильным является ответ 29.

По условию, имеется 12 пятиугольников. У каждого пятиугольника 5 соседних (по общей стороне) шестиугольников. Если бы у разных пятиугольников все соседние шестиугольники были различны, то число шестиугольников было бы равно 12 · 5 = 60. Но у каждого шестиугольника имеется 3 соседних пятиугольника. Поэтому 60 – это утроенное число шестиугольников, т.е. на самом   деле их количество равно 60 : 3 = 20.

По-другому найти ответ можно, подсчитывая количество вершин данных многоугольников. С одной стороны, пятиугольников 12 и каждая вершина принадлежит ровно одному пятиугольнику. Поэтому число всех вершин равно 12 · 5 = 60. С другой стороны, пусть число шестиугольников равно n. Так как каждая вершина принадлежит ровно двум шестиугольникам, то количество всех вершин равно 6n : 2 = 3n. Имеем: 3n = 60, откуда n = 20.

Ещё один способ – рассмотреть рёбра данных многоугольников. Стянем в вершины все рёбра, которые являются общими у шестиугольников, т.е. преобразуем такие рёбра в вершины. Тогда все шестиугольники станут треугольниками. При этом каждое (оставшееся) ребро будет принадлежать ровно одному пятиугольнику и ровно одному треугольнику. Поэтому если число треугольников (а значит, и шестиугольников) равно n, то, подсчитывая число всех рёбер двумя способами, получим 5 · 12 = 3n, откуда n = 20.

Отметим, что многогранник, имеющий такой же вид, как мяч, в данной задаче, называется усечённым икосаэдром. Он является одним из 13 полуправильных многогранников (архимедовых тел). Ещё один полуправильный многогранник рассматривается в задаче №25 для 11 класса.

Заметим, что цвета кенгуру повторяются с периодом 3. Действительно, пусть A, B, C, D – четыре подряд стоящие кенгуру. Тогда мы имеем две тройки (A, B, C) и (B, C, D). В каждой тройке все три кенгуру разного цвета: красного, серого и синего. При этом в первой тройке цвет A отличен от цвета B и цвета C. Во второй тройке цвет D также отличен от цвета B и цвета C. Следовательно, кенгуру A и D – одного цвета.

В силу указанной периодичности цвет у разных кенгуру совпадает тогда и только тогда, когда номера этих кенгуру имеют одинаковые остатки при делении на 3. Числа 2, 20, 202, 102 и 2021 имеют при делении на 3 остатки 2, 2, 1, 0 и 2 соответственно (см. таблицу).

Поэтому цвета кенгуру с номерами 2, 20 и 2021 должны быть одинаковыми. Однако, по условию, они соответственно серый, синий и серый. Поэтому тот единственный кенгуру, цвет которого Боря не угадал, – это кенгуру из данной тройки (кенгуру номер 20).

По условию, путь термита не пересекает ни одного ребра. Поэтому, каждый раз переходя в следующий на пути следования кубик, термит перемещается в соседний по грани кубик: либо в правый, либо в передний, либо в верхний (см. рис. в условии задачи). При этом, чтобы перейти от вершины Q до вершины P, термит из исходного углового кубика должен переместиться на 4 кубика вправо, на 2 кубика вперёд и на 3 кубика вверх, всего – на

4 + 2 + 3 = 9 кубиков. С учётом исходного углового кубика, на пути находится 1 + 9 = 10 кубиков.

Будем обозначать рыцарей буквой Р, а лжецов буквой Л. Созданные волшебником пары могли быть трёх типов: {Л, Л}, {Л, Р} и {Р, Р}. Так как лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду, утверждения в парах могут быть только следующие:

{Л, Л} → {Р, Р},   {Л, Р} → {Л, Л},   {Р, Р} → {Р, Р}.

Видим, что лжецы названы только в паре типа {Л, Р}. А по условию, лжецами было названо 20 человек. Поэтому число пар {Л, Р} равно 10. Остальные пары – это пары типа {Л, Л} и {Р, Р}. Так как рыцарей в городе 21, и 10 из них вошли в пары {Л, Р}, то пары {Р, Р} могут быть образованы оставшимися 11 рыцарями. Ясно, что число таких пар равно 5, один рыцарь не вошёл ни в одну пару. Тогда, так как общее число пар всех типов равно 1010, число пар типа {Л, Л} равно

1010 – 10 – 5 = 995.

Будем последовательно определять игры в раундах в дополнение к тем, которые указаны в условии задачи, и заполнять таблицу. Заметим, что изначально указаны три игры с командой A, а именно A–B, A–E и A–C в 1, 3 и 5 кругах соответственно. Из двух оставшихся игр команды A, а именно A–D и A–F, первая не может быть во 2-м туре, так как в этом туре D играет с С. Аналогично, игра A–F не может быть в 4 туре. Поэтому игры A–D и A–F проходили соответственно в 4 и 2 турах. Добавим эти результаты во вторую строчку таблицы.

Теперь мы видим, что во 2 туре четыре команды A, D и F распределены по парам. Поэтому третью пару однозначно составляют две оставшиеся команды: B–E. Аналогично, в 4 туре третья пара – это B–C. Добавим эти игры в третью строчку таблицы.

В результате определены три игры команды C: C–D, B–C и A–C соответственно во 2, 4 и 5 турах. Тогда оставшиеся две игры C–E и C–F должны были состояться в 1 и 3 турах. При этом игра C–E не могла быть в 3 туре, так как в этом туре E играет с A. Поэтому игры C–E и C–F прошли соответственно в 1 и 3 турах. Вносим эти данные в таблицу. Далее, поскольку в 1 и 3 турах известны по две игры, то, как и раньше, однозначно определяются третьи игры: D–F и B–D в 1 и 3 турах соответственно.

Таким образом, хотя мы ещё не заполнили таблицу целиком, ответ найден: игра D–F состоялась в первом туре. Но уже не составляет труда закончить заполнение таблицы.

Соединим отрезками вершину K с вершинами данного четырёхугольника ABCD и отмеченными на его сторонах точками (см. рис.). В результате получаем разбиение данного четырёхугольника на треугольники с общей вершиной K. Заметим, что на каждой стороне данного четырёхугольника имеется по три равных стороны данных треугольников с общей высотой, проведённой к этим сторонам, или их продолжениям из вершины K. Поэтому площади таких троек треугольников одинаковые. С учётом этого отметим площади треугольников буквами x, y, z и t, как показано на рисунке. Согласно условию,

2y + 2z = 10,   z + t = 8,   2x + 2t = 18

и требуется найти S_TKSD = x + y. После упрощений получим:

y + z = 5,   z + t = 8,   x + t = 9.

Сложим первое и третье из этих трёх уравнений, получим:

y + z + x + t = 14. Вычтем из полученного второе уравнение, получим: x + y = 6.

По-другому завершить вычисления можно было так. Заметим, что

S_AWKT + S_KPCS = 2(x + y + z + t) = 2 · (S_TKSD + S_WBPK),

т.е. 18 + 10 = 2 · (S_TKSD + 8),

откуда 14 = S_TKSD + 8 ,   и S_TKSD = 6.