Задание 1
|
У Лизы есть четыре деревянные цифры, из которых можно составить число 2025. Какое наибольшее число она может составить из этих цифр?
A) 2502 Б) 5202 В) 5220 Г) 5502 Д) 5520
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 30 - 0.75 = 29.25
|
Чтобы получить наибольшее число, цифры необходимо расположить от большего к меньшему, отсюда 5220.
Задание 2
|
Изабелла поворачивает бумажный шестиугольник каждый раз на одинаковый угол в одном направлении. На рисунке показано, как выглядит фигура после одного такого поворота. Через какое число поворотов из предложенных этот шестиугольник займёт исходное положение?
A) 7 Б) 8 В) 9 Г) 10 Д) 12
|
Правильный ответ: Д
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 29.25 - 0.75 = 28.5
|
Шестиугольник снова будет выглядеть как в начале, если количество поворотов делится на 6 без остатка. Из предложенных чисел только 12 делится на 6. Поэтому ответ — 12.
Задание 3
|
Саша бросает три игральных кубика и получает сумму 8. На всех трёх кубиках выпали разные числа. Какое число точно не могло выпасть ни на одном из кубиков?
|
Правильный ответ: Д
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 28.5 - 0.75 = 27.75
|
Чтобы получить сумму 8 из трёх разных чисел от 1 до 6, возможны только такие варианты:
5 + 2 + 1 или
4 + 3 + 1.
Таким образом, число 6 не могло выпасть на ни одном из кубиков.
Задание 4
|
Правильный шестиугольник разделён на треугольники равной площади. Какая по площади часть шестиугольника закрашена?
A) 1/2 Б) 1/3 В) 1/4 Г) 1/5 Д) 1/6
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 27.75 + 3 = 30.75
|
Правильный шестиугольник разделён на 36 треугольников, 12 из которых закрашены. Тогда искомая дробь равна 12/36 = 1/3.
Задание 5
|
Сколько промежутков времени по 12 минут равны 12 часам?
A) 60 Б) 24 В) 12 Г) 10 Д) 6
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Д
|
Промежуточный результат: 30.75 - 0.75 = 30
|
В 1 час помещается 5 промежутков по 12 минут. Значит, в 12 часах будет 5 × 12 = 60 промежутков по 12 минут.
Задание 6
|
Денису 5 лет. Его брат Доминик на 6 лет старше. Какова будет сумма их возрастов через 7 лет?
A) 26 Б) 27 В) 28 Г) 29 Д) 30
|
Правильный ответ: Д
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 30 - 0.75 = 29.25
|
Через 7 лет Денису будет
5 + 7 = 12 лет.
Через 7 лет Доминику будет
(5 + 6) + 7 = 18 лет.
Значит, сумма их возрастов будет
12 + 18 = 30 лет.
Задание 7
|
Олег хочет записать цифры 2, 0, 2 и 5 в четыре клетки на рисунке. Какое наименьшее значение может иметь полученное выражение?
A) -7 Б) -6 В) -5 Г) -4 Д) -3
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 29.25 + 3 = 32.25
|
Так как Олег складывает два числа, а затем вычитает из них два других, наименьший результат получится, если он вычтет самые большие числа. Поэтому, чтобы получить наименьшее значение, ему нужно вычесть 5 и 2.
Один из примеров такого выражения:
2 − 2 + 0 − 5 = −5. Таким образом, наименьший результат, который может получить Олег, равен −5.
Задание 8
|
В комнате находятся правдолюбы и лжецы. Правдолюбов на 10 человек больше, чем лжецов. Всем задали вопрос: «Вы правдолюб?» и каждый дал ответ. Ответ «Да» дали 20 человек. Сколько лжецов в комнате?
A) 0 Б) 5 В) 15 Г) 20 Д) 25
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 32.25 + 3 = 35.25
|
Правдолюбы скажут правду и дадут ответ «Да», а лжецы солгут и тоже дадут ответ «Да». Следовательно, общее количество людей в комнате — 20. Поскольку правдолюбов на 10 больше, чем лжецов, то в комнате 5 лжецов и 15 правдолюбов.
Задание 9
|
На рисунке изображена фигура, образованная пятью кругами, наложенными друг на друга. Площадь каждого круга равна 8 см2. Площадь каждой секции, образованной наложением кругов, составляет 1 см2. Чему равна площадь, покрытая фигурой?
A) 32 см2 Б) 36 см2 В) 38 см2 Г) 39 см2 Д) 42 см2
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 35.25 - 0.75 = 34.5
|
На рисунке есть четыре секции, образованные наложением кругов, общей площадью
4 × 1 см2 = 4 см2.
Следовательно, общая площадь, занимаемая фигурой, составляет
5 × 8 см2 - 4 см2 = 36 см2.
Задание 10
|
Настоящий код замка велосипеда, показанного на рисунке, — это 0000. Однако, если посмотреть на него под другим углом, он выглядит как 8888. Когда Павел смотрит под этим другим углом на замок своего друга, он видит 2815. Каков настоящий код замка его друга?
A) 4037 Б) 4693 В) 0639 Г) 0693 Д) 9603
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 34.5 - 0.75 = 33.75
|
Если смотреть на код под другим углом, то 0000 выглядит как 8888. Значит, чтобы узнать настоящий код, нужно вычесть 2 из каждой цифры. Следовательно, настоящий код замка друга Павла — 4037.
Задание 11
|
Мышонок Матвей хочет добраться до кусочка сыра. Он может передвигаться только по горизонтали или вертикали, следуя направлениям, указанным стрелками. Сколько разных маршрутов может выбрать Матвей, чтобы добраться до сыра?
A) 3 Б) 5 В) 8 Г) 10 Д) 11
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 33.75 - 1 = 32.75
|
До клетки, расположенной по диагонали от мышонка, можно добраться двумя способами. Это означает, что к правому сыру ведут 2 маршрута, и столько же — к нижнему сыру. До среднего сыра из диагональной клетки также можно дойти двумя путями, поэтому общее число маршрутов к нему равно
2 × 2 = 4.
Следовательно, общее количество возможных маршрутов —
2 + 2 + 4 = 8.
Задание 12
|
В забеге на 60 метров с барьерами установлено 5 барьеров. Первый барьер расположен на расстоянии 12 метров от старта, а расстояние между любыми двумя соседними барьерами составляет 8 м. Какое расстояние от последнего барьера до финиша?
A) 16 м Б) 14 м В) 12 м Г) 10 м Д) 8 м
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 32.75 - 1 = 31.75
|
Пятый барьер находится на расстоянии
12 м + 8 м × 4 = 12 м + 32 м = 44 м от старта.
А это 60 м − 44 м = 16 м от финиша.
Задание 13
|
Эдгар хочет записать числа по кругу так, чтобы каждое число равнялось сумме двух соседних. Два числа он уже вписал, как показано на рисунке. Какое число он должен вписать в сером кружочке?
A) 2 Б) -1 В) -2 Г) -3 Д) -5
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: Д
|
Промежуточный результат: 31.75 - 1 = 30.75
|
Понятно, что в верхнем круге должно быть число 3. Сумма числа 3 и числа в левом круге должна равняться 1, значит, в левом круге стоит −2. Кроме того, сумма 3 и числа в правом круге должна быть 2, поэтому в правом круге стоит −1. Следовательно, в нижнем круге должно быть −3.
Задание 14
|
Людмила разместила три прямоугольные картины так, как показано на рисунке. Чему равен угол x?
A) 64 Б) 70 В) 72 Г) 76 Д) 80
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 30.75 - 1 = 29.75
|
180 - 90 - 62 = 28
28 + 42 + (90 - x) = 180 - 90
x = 70
Задание 15
|
У Сергея есть две коробки с пронумерованными шарами. В коробке X находятся шары с номерами 1, 2, 6, 7, 10, 11 и 12. В коробке Y — шары с номерами 3, 4, 5, 8 и 9. Какой шар Сергей должен переложить из коробки X в коробку Y, чтобы в обеих коробках средние арифметические номеров шаров увеличились?
A) 6 Б) 7 В) 10 Г) 11 Д) 12
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 29.75 - 1 = 28.75
|
Нужно выбрать такой шар, номер которого больше среднего значения чисел в первой коробке, но меньше среднего значения чисел во второй. Среднее арифметическое номеров шаров в первой коробке равно 7, а во второй — 5,8. Единственный подходящий номер — 6. Значит, именно этот шар нужно переложить.
Задание 16
|
Вася занимается на беговой дорожке с двумя секундомерами. Первый показывает время, прошедшее с начала тренировки, а второй — время, оставшееся до её окончания. В какой-то момент оба секундомера показывают одно и то же время. Чему равно это показание?
A) 17:50
Б) 18:00
В) 18:12
Г) 18:15
Д) 18:20
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 28.75 - 1 = 27.75
|
Разница между значениями секундомеров составляет 6 минут 34 секунды. Их значения совпадут, когда пройдёт половина этого промежутка, т.е. 3 минуты и 17 секунд. Если добавить их к значению первого секундомера, он покажет 18:15, а если вычесть их из второго секундомера, он также покажет 18:15.
Задание 17
|
Юля хочет заполнить все клетки на рисунке различными простыми числами, меньшими 20, так, чтобы дробь A оказалась целым числом. Какое наибольшее значение может принимать A?
A) 20 Б) 14 В) 10 Г) 8 Д) 6
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: А
|
Промежуточный результат: 27.75 - 1 = 26.75
|
Существует только восемь простых чисел, меньших 20, а именно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
Из этого следует, что сумма числителя и знаменателя равна
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77.
Поскольку A — целое число, знаменатель равен 7 или 11. Когда знаменатель равен 7, значение A равно
(77 − 7)/7 = 10.
Когда знаменатель равен 11, значение A равно
(77 − 11)/11 = 6
Таким образом, максимальное значение A равно 10.
Задание 18
|
Марат вписывает в ячейки на схеме либо крестик, либо кружок. При этом он следит, чтобы ни в одном столбце, строке или диагонали не было четырёх одинаковых символов подряд. Несколько символов он уже вписал, как показано на рисунке. Какие символы окажутся в сером столбце, когда вся схема будет заполнена?
A) 3 кружочка и 3 крестика
Б) 2 кружочка и 4 крестика
В) 4 кружочка и 2 крестика
Г) 5 кружков и 1 крестик
Д) 1 кружок и 5 крестиков
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 26.75 + 4 = 30.75
|
Задание 19
|
В прямоугольнике ABCD на стороне DC отмечены точки E и F так, что ∠EBA = ∠DFA = 45° и AB + EF = 20 см. Чему равна длина BC?
A) 4 см Б) 6 см В) 8 см Г) 10 см Д) 12 см
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 30.75 - 1 = 29.75
|
Если AB = a и BC = b, то EF = 2b − a.
Следовательно, AB + EF = 2b и тогда b = BC = 20 см : 2 = 10 см.
Задание 20
|
Петя нарисовал по четверти окружности в каждом углу прямоугольника 12 см × 9 см, как показано на рисунке. Чему равна длина отрезка, отмеченного вопросительным знаком?
A) 5 см Б) 6 см В) 7 см Г) 8 см Д) 9 см
|
Правильный ответ: Б
|
Ответ участника: Д
|
Промежуточный результат: 29.75 - 1 = 28.75
|
Противоположные стороны прямоугольника равны. Длина меньшей стороны равна 9 см, значит, радиусы четырех кругов в сумме составляют 2 • 9 см = 18 см. Две другие стороны, т.е. четыре радиуса и недостающий отрезок, в сумме составляют 2 • 12 см = 24 см. Поэтому искомая длина отрезка: 24 см − 18 см = 6 см.
Задание 21
|
Дано шестизначное число PAPAYA, в котором разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые цифры. Известно, что
Y = P + P = A + A + A.
Найдите значение выражения
P × A × P × A × Y × A.
A) 432 Б) 342 В) 324 Г) 243 Д) 234
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 28.75 - 1.25 = 27.5
|
Поскольку Y = P + P = A + A + A, Y является кратным 2 и кратным 3 и, следовательно, кратным 6. Поскольку Y − одна цифра, Y = 6, следовательно, P = 3 и A = 2. Значит,
P × A × P × A × Y × A = 3 × 2 × 3 × 2 × 6 × 2 = 432.
Задание 22
|
За две футбольные тренировки Паша ударил по воротам 17 раз. На первой тренировке 60% всех его ударов оказались успешными, а на второй — 75%. Сколько голов забил Паша на второй тренировке?
A) 6 Б) 7 В) 8 Г) 9 Д) 10
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 27.5 + 5 = 32.5
|
Поскольку 60% = 60/100 = 3/5 всех ударов на первой тренировке должны быть целым числом, это число должно быть кратно 5. Значит, Паша бил мячом в цель 0, 5, 10 или 15 раз на первой тренировке. Следовательно, на второй тренировке было совершено 17 − 0 = 17, 17 − 5 = 12, 17 − 10 = 7 или 17 − 15 = 2 удара. Из этого числа 75% = 3/4 должны быть целым числом, поэтому это число должно быть кратно 4. Следовательно, он сделал 12 ударов на второй тренировке, из которых он попал в цель 3/4 • 12 = 9 раз.
Задание 23
|
Антон каждый день выходит в школу в 8:00. Расстояние от его дома до школы равно 1 км. Если Антон идёт пешком со скоростью 4 км/ч, то приходит за 5 минут до начала уроков. За сколько минут до начала уроков приедет Антон, если поедет в школу на велосипеде со скоростью 15 км/ч?
A) 12 Б) 13 В) 14 Г) 15 Д) 16
|
Правильный ответ: Д
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 32.5 - 1.25 = 31.25
|
Время, которое требуется Антону, чтобы пройти 1 км, составляет 1 км / 4 км/ч = 1/4 ч = 15 мин, а время, которое требуется ему, чтобы проехать 1 км на велосипеде, составляет 1 км / 15 км/ч = 1/15 ч = 4 мин. Таким образом, добираясь на велосипеде, Антон экономит ещё 11 минут. Если Антон, когда идёт пешком, приходит за 5 минут до начала урока, то, когда он будет ехать на велосипеде он приедет за 5 мин + 11 мин = 16 мин до начала урока.
Задание 24
|
Рита начертила четыре квадрата, как показано на рисунке. Чему равна площадь закрашенного четырехугольника?
A) 54 Б) 60 В) 66 Г) 72 Д) 80
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 31.25 - 1.25 = 30
|
Продлив стороны квадратов, можно получить большой прямоугольник с размерами 13 см на 9 см. Если из площади получившегося прямоугольника вычесть площади трёх прямоугольных треугольников в его углах, то площадь закрашенного четырёхугольника будет равна:
13 см • 9 см − 1/2 • 9 см • 5 см − 1/2 • 3 см • 3 см − 1/2 • 6 см • 8 см = 117 см2 − 22,5 см2 − 4,5 см2 − 24 см2 = 66 см2.
Задание 25
|
р, q, r, s и t являются пятью последовательными положительными целыми числами, но не обязательно в данном порядке. Сумма p и q равна 69, а сумма s и t равна 72. Чему равно r?
A) 29 Б) 31 В) 34 Г) 37 Д) 39
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 30 - 1.25 = 28.75
|
Поскольку пять целых чисел являются последовательными, наибольшая возможная разница между ними равна четырём. Возможные пары целых чисел, отличающихся на четыре или менее, которые в сумме дают 69, — это 34 и 35 или 33 и 36. Аналогично, возможные пары целых чисел, отличающихся на четыре или менее, которые в сумме дают 72, — это 35 и 37 или 34 и 38. Если бы пара, дающая в сумме 69, была 34 и 35, ни одна из пар, дающих в сумме 72, не могла бы быть составлена без повторения чисел из первой пары. Следовательно, пара, образующая в сумме 69, — это 33 и 36. Значит парой целых чисел, дающей в сумме 72, будет 35 и 37. В противном случае существовала бы пара чисел, разница между которыми была бы больше 4. Поэтому p, q, s, t — это 33, 36, 35 и 37, а значение r равно 34.
Задание 26
|
Высоту прямоугольного параллелепипеда уменьшили на 3 см и получили куб. Площадь поверхности фигуры при этом уменьшилась на 60 см2. Чему равен объём исходного прямоугольного параллелепипеда в см3?
A) 75 Б) 125 В) 150 Г) 200 Д) 225
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 28.75 - 1.25 = 27.5
|
Поскольку фигура, полученная при уменьшении высоты прямоугольного параллелепипеда на 3 см, является кубом, основание прямоугольного параллелепипеда является квадратом. Пусть длина стороны этого квадрата будет x см. Уменьшение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда происходит за счёт четырёх равных прямоугольников, каждый высотой 3 см и длиной x см. Следовательно, мы имеем
4 • (3 • x) = 60 и x = 5.
Значит, исходный объём прямоугольного параллелепипеда в см3 был
5 • 5 • (5 + 3) = 5 • 5 • 8 = 200.
Задание 27
|
В четырёхугольнике ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки N и K соответственно так, что BN = 2NC и AK = KD. Площадь треугольника CKD равна 2, а площадь треугольника ABN равна 6. Чему равна площадь четырёхугольника ABCD?
A) 13 Б) 14 В) 15 Г) 16 Д) 17
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Г
|
Промежуточный результат: 27.5 - 1.25 = 26.25
|
Проведём AC. Поскольку 2NC = BN, площадь треугольника ANC в два раза меньше площади треугольника ABN, т.е.
SANC = 1/2 × SABN = 3.
SACK = SCKD, так как CK — медиана.
Следовательно, SABCD = SABN + SANC + SACK + SCKD = 6 + 3 + 2 + 2 = 13.
Задание 28
|
На четырёх проводах сидит стая птиц, среди которых Кеша, Гоша, Чип и Снежок. Над Кешей сидят 10 птиц, над Гошей — 25 птиц. Под Чипом сидят 5 птиц, а под Снежком — 2 птицы. Количество птиц, сидящих над Снежком, кратно количеству птиц, сидящих под ним. Сколько всего птиц на этих четырёх проводах?
A) 27 Б) 30 В) 32 Г) 37 Д) 40
|
Правильный ответ: А
|
Ответ участника: Д
|
Промежуточный результат: 26.25 - 1.25 = 25
|
Пусть провод 1 будет сверху, затем идут провода 2, 3 и 4 соответственно.
Так как над Гошей сидит больше птиц, чем над Кешей, Гоша должен быть ниже Кеши. Также, так как над Кешей есть птицы, Кеша не может сидеть на проводе 1. По аналогии, Снежок должен сидеть ниже Чипа и не может быть на проводе 4.
Если над Кешей сидят 10 птиц, а над Гошей — 25 птиц, то на проводе Кеши или ниже него должно сидеть как минимум 15 птиц. Если бы Чип сидел выше Кеши, то эти 15 птиц учитывались бы как птицы, сидящие под Чипом. Но так как под Чипом сидит только 5 птиц, Чип не может быть выше Кеши. Это означает, что Чип должен сидеть на проводе 2, деля его с Кешей, так как это единственное место, которое удовлетворяет условиям для Кеши и Чипа. Следовательно, Снежок должен сидеть на проводе 3.
Гоша не может сидеть на том же проводе, что и Снежок, так как это означало бы, что над Снежком сидят 25 птиц (столько же, сколько над Гошей). Однако 25 не является чётным числом относительно 2 птиц, сидящих под Снежком. Поэтому Гоша должен сидеть на проводе 4.
Таким образом, на проводе 4 будет 2 птицы, а на проводах 1, 2 и 3 в сумме 25 птиц. Всего на проводах будет 27 птиц. Точнее, на проводе 4 будут 2 птицы (Гоша и ещё одна птица), на проводе 3 — 3 птицы (Снежок и ещё 2 птицы), на проводе 2 — 12 птиц (Кеша, Чип и 10 других), и на проводе 1 — 10 птиц.
Задание 29
|
На рисунке показана развёртка октаэдра, где каждая грань разделена на три части. Октаэдр раскрашен тремя цветами: чёрным, тёмно-серым и светло-серым. Цвета расположены так, что части, которые исходят или из одной вершины, или из противоположных, имеют одинаковый цвет. В какой цвет можно покрасить часть, обозначенную точкой?
A) только в чёрный
Б) только в тёмно-серый
В) только в светло-серый
Г) в чёрный или в тёмно-серый
Д) в чёрный или в светло-серый
|
Правильный ответ: В
|
Ответ участника: Б
|
Промежуточный результат: 25 - 1.25 = 23.75
|
Пусть A′ — противоположная вершина для вершины A, B′ — противоположная вершина для вершины B, а C′ — противоположная вершина для вершины C.
Задание 30
|
Арина хранит золотые, красные, чёрные, розовые и белые жемчужины в пяти шкатулках. Каждая шкатулка содержит жемчужины только одного цвета. Шкатулки подписаны, как показано на рисунках, и все надписи правдивые. Лиля, подруга Арины, хочет узнать, в какой шкатулке находятся золотые жемчужины. Она может открыть только одну шкатулку, чтобы посмотреть, что внутри. Какую шкатулку ей нужно открыть, чтобы точно узнать, в какой из них золотые жемчужины?
|
Правильный ответ: Г
|
Ответ участника: В
|
Промежуточный результат: 23.75 - 1.25 = 22.5
|
Рассмотрим шкатулку Г. Если в шкатулке Г находятся золотые жемчужины, то задача решена. Если в ней находятся красные жемчужины, то в шкатулке A будут золотые жемчужины, и задача также решена. Если в шкатулке Г розовые жемчужины, то в шкатулке Б — чёрные жемчужины, а в шкатулке В — золотые жемчужины, и задача также решена. Наконец, если в шкатулке Г белые жемчужины, то в шкатулке Д будут розовые жемчужины, в шкатулке Б — чёрные жемчужины, а в шкатулке В — золотые жемчужины, и задача также решена. Таким образом, если Лиля выберет шкатулку Г, она точно сможет узнать в какой шкатулке находятся золотые жемчужины.
Можно заметить, что, если Лиля выберет другую шкатулку, это не даст ей уверенности в том, где находятся золотые жемчужины. Например, если в шкатулке A лежат красные жемчужины, то в остальных шкатулках могут оказаться чёрные, золотые, розовые или белые жемчужины, и нельзя точно определить местонахождение золотых. Такой же принцип действует и для других шкатулок.
