Легко видеть, что верёвка в условии задачи преобразуется в окружность. Поэтому достаточно определить, какая из верёвок в вариантах ответа в окружность (без разрезания и склеивания) не преобразуется. Это верёвка Б.

Согласно условию, у данных пятиугольных плиток два угла – прямые. Поэтому, чтобы какую-то плитку в вариантах ответа можно было поместить в центр данной фигуры, необходимо эту плитку повернуть на пол-оборота. Повернём все плитки в вариантах ответа (см. рис. ниже).

После этого видно, что правильный ответ – ответ В.

Ромб можно разбить диагоналями на 4 равных прямоугольных треугольника. После добавления двух треугольников получилась фигура, состоящая из 6 равных треугольников. Поэтому площадь добавленных треугольников равна половине площади ромба. То есть, площадь фигуры увеличилась на 50%.

У тетраэдра 4 вершины. После отрезания каждой вершины вместо неё появляется 3 новых вершины. Поэтому у Юли получился многогранник, у которого

4 × 3 = 12 вершин.

Всего расположить 3 жетона в ряд можно 6 способами. Но (1, 11) и (11, 1) дают одинаковый результат. Поэтому можно получить только 4 различных числа:

1511, 1115, 5111 и 1151.

Поскольку Аня любит только яблоко, то ей досталось яблоко.

Дима любит только яблоко и вишни. А так как яблоко досталось Ане, то Диме достались вишни.

Нужно определить, сколько детей может находиться в лифте вместо

12 – 9 = 3 взрослых.

Согласно условию задачи, вместо 12 взрослых может быть 20 детей. Тогда вместо

3 = 12 : 4 взрослых может быть

5 = 20 : 4 детей.

В левой верхней клетке должен быть общий делитель чисел 4 и 6. Если это 1, то далее однозначно находим числа в других клетках и получаем таблицу на рис.1.

Если в верхней левой клетке будет число 2, то далее тоже однозначно вычисляются числа в других клетках, и получаем таблицу на рис.2. Но во втором случае в таблице имеются одинаковые числа, что противоречит условию задачи.

В первой таблице все числа различны и их сумма равна

1 + 6 + 4 + 2 = 13.

Разница в длине между 4 и 10 упакованными тележками составляет

168 – 108 = 60 см.

То есть, с добавлением 10 – 4 = 6 тележек длина упаковки увеличивается на 60 см. Тогда добавление 1 тележки увеличивает длину упаковки на

60 : 6 = 10 см.

Поэтому, если из 4 упакованных тележек убрать 3 тележки, то получим одну тележку, и её длина равна

108 – 3 × 10 см = 78 см.

Угол, который образуют линии разреза одного куска торта, равен

360° : 10 = 36°.

Поэтому после того, как Карина один кусок убрала, а остальные равномерно раздвинула, между соседними кусками образовались 9 углов, сумма которых равна 36°. Тогда величина одного такого угла равна

36° : 9 = 4°.

У второй из трёх данных фигур имеется строка, сумма чисел в которой равна

2 + 1 + 3 + 1 = 7.

Поэтому сумма чисел во всём квадрате должна быть равна

4 × 7 = 28.

Суммы чисел у данных трёх фигур равны 7, 8 и 8. Поэтому дополнительно нужен фрагмент, у которого сумма чисел равна

28 – 7 – 8 – 8 = 5.

В вариантах ответа только фрагмент А имеет такую сумму. Поэтому правильным может быть только ответ А. На рисунке ниже показано, что соответствующий квадрат действительно можно построить и он всем условиям удовлетворяет.

Будем называть треугольники теми же буквами, которыми обозначены их площадь. Кроме треугольников А и В рассмотрим ещё треугольник С (см. рис.1).

На рис.2 видно, что что площадь A + C равна половине площади данного квадрата. В свою очередь, на рис.3 видно, что площадь B + C также равна половине площади данного квадрата. Следовательно,

A + C = B + C, откуда А – В = 0.

Птенец мог съесть 44 рыбки только, если два дня он съедал по 7 рыбок и шесть дней по 5 рыбок

(7 × 2 + 5 × 6 = 44; по-другому таким способом значение 44 получить нельзя).

Поэтому он ел рыбу 8 дней. За 8 дней Павел поймал

8 × 12 = 96 рыбок.

Следовательно, второй птенец за это время съел

96 – 44 = 52 рыбки.

У каждого из 6 внешних кубиков построенной конструкции по 1 внешней грани (которая не имеет общих рёбер с другими кубиками) и по 4 внутренних. Для покрытия 6 внешних граней понадобится 6 кубиков. Число внутренних граней равно

6 × 4 = 24.

Заметим, что, покрывая одну такую грань, мы одновременно будем покрывать еще одну внутреннюю грань соседнего по ребру кубика. Поэтому для покрытия внутренних граней понадобится

24 : 2 = 12 кубиков.

Всего понадобится

6 + 12 = 18 кубиков.

Так как прыжок вниз в 3 раза длиннее прыжка вверх, а расстояние, пройденное вверх, равно расстоянию, пройденному вниз, число прыжков вверх в 3 раза больше числа прыжков вниз. Пусть число прыжков вниз равно х. Тогда общее число прыжков равно

х + 3х = 4х.

Согласно условию задачи, 4х = 2024, откуда

х = 2024 : 4 = 506.

Тогда длинна пути, пройденного кенгуру вниз равна

506 × 3 = 1518 м,

а длина всего пути равна

1516 × 2 = 3036 м.

Заметим, что сумма периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равна периметру всего исходного прямоугольника. То же самое верно для левого нижнего и правого верхнего прямоугольников. Поэтому

24 + ? = 18 + 16, откуда

? = 10.

Примем вес свежих грибов за 100 г. Тогда, согласно условию, в них 80 г воды и 20 г сухого вещества. После сушки масса сухого вещества не изменится и останется равной 20 г. Но, по условию, у сухих грибов сухое вещество уже будет составлять 80%. На воду остаётся 20%, т.е.

в 80% : 20% = 4 раза меньше, чем на сухое вещество.

Поэтому масса воды будет равна

20 : 4 = 5 г.

В результате, общая масса сухих грибов будет равна

20 + 5 =25 г.

Это на 75 г меньше, чем было до сушки, что составляет 75% от исходной массы, равной 100 г.

Таким образом, правильным является ответ В.

Соединим мысленно отрезком центры всякой треугольной и всякой шестиугольной плитки, если эти две плитки имеют общий участок границы. Глядя на указанную мозаику, видим, что каждая шестиугольная плитка имеет шесть соседних треугольных – поэтому всего отрезков будет примерно

3000 × 6 = 1800.

С другой стороны, т.к. у каждой треугольной плитки три соседних шестиугольных, то всего число треугольных плиток примерно равно

18000 : 3 = 6000.

Поэтому ответ Г.

Согласно условию задачи герои сюжета могли иметь пары карточек со следующими числами.

Алексей: {1, 5}; {2, 4}.

Боря: {1, 6}; {2, 7}; {3, 8}; {4, 9}.

Валя: {2, 9}; {3, 6}.

Галя: {1, 2}; {2, 4}; {3, 6}; {4, 8}.

Предположим, что числа на карточках Алексея {2, 4}. Тогда у Вали {3, 6}. В результате у Гали невозможен ни один вариант. Следовательно, числа Алексея – {1, 5}.

Пусть на карточках Вали {2, 9}. Тогда у Бори только {3, 8}. После этого снова у Гали невозможен ни один вариант. Значит, у Вали – {3, 6}.

У Бори и Гали остаются возможными по два варианта. Пусть у Бори {4, 9}. Тогда снова у Гали не подходит ни один вариант. Значит, у Бори {2, 7} и тогда у Гали однозначно {4, 8}.

Видим, что никому не досталась карточка с числом 9.

Каждая цифра имеет 0, 1, 2 или 3 горизонтальных сегмента. Поэтому сумму 5 можно получить только так:

1) 5 = 2 + 2 + 1, или

2) 5 = 3 + 1 + 1, или

3) 5 = 3 + 2 + 0.

Однако первый вариант невозможен, поскольку только 0 имеет два горизонтальных сегмента.

Второй вариант также невозможен, так как только цифры 4 и 7 имеют по одному горизонтальному отрезку. Но эти цифры имеют в совокупности 5 вертикальных сегментов, вследствие чего третья искомая цифра должна была бы иметь

10 – 5 = 5 вертикальных сегментов.

Но такой цифры нету.

Итак, у искомых цифр должно быть 3, 2 и 0 горизонтальных сегментов. Одна из таких цифр – цифра 1 (только она не имеет горизонтальных сегментов). Ещё одна искомая цифра – цифра 0 (только она имеет 2 горизонтальных сегмента). В совокупности цифры 1 и 0 имеют 6 вертикальных сегментов. Поэтому третья искомая цифра имеет 3 горизонтальных и

10 – 6 = 4 вертикальных сегмента.

Такой цифрой является только цифра 8. Таким образом, искомыми являются цифры 1, 0 и 8, их сумма равна

1 + 0 + 8 = 9.

Квадрат имеет 4 оси симметрии: горизонтальную, вертикальную и две диагональные. Начнём с того, что проведём одну из таких осей симметрии. В трёх случаях однозначно определяются клетки, которые нужно дополнительно закрасить (в случае горизонтальной и вертикальной осей и в случае диагональной, идущей слева сверху вправо вниз). В четвёртом случае существует 3 способа выбора закрашиваемых клеток. Всего имеется 6 различных способов.

Пусть h – высота данного прямоугольника. Тогда радиусы данных полукругов равны h, h – 5 и h – 7 соответственно (см. рис. в условии задачи).

Согласно условию, сумма их диаметров равна 36 см. То есть,

2(h + h – 5 + h – 7) = 36, или

3h – 12 = 18, откуда

h = 10.

Поэтому периметр данного прямоугольник равен

2 · (36 + 10) = 92 см.

Будем считать, что ученики пронумерованы числами от 1 до 50 (против хода часовой стрелки) и в самом начале мяч имеет игрок номер 1. Тогда он передаёт мяч ученику номер

1 + 6 = 7,

которые передаёт его игроку номер

7 + 6 = 13 и т.д.

То есть мяч получат все ученики, номер которых имеет остаток 1 при делении на 6. Но после того, как мяч получит игрок номер

49 = 1 + 6 · 8,

он передаст его игроку номер 5. Далее мяч будут получать игроки, у которых номер имеет остаток 5 при делении на 6 до тех пор, пока мяч не получит игрок номер

47 = 5 + 6 · 7.

Он передаст мяч игроку номер 3. После этого мяч станут последовательно получать игроки с номерами, имеющими остаток 3 при делении на 6. Это продолжится до тех пор, пока мяч не получит игрок номер

45 = 3 + 6 · 7.

Он передаст мяч игроку номер 1, который имел мяч в самом начале. После этого передачи повторятся, пока мяч снова не получит игрок номер 1 и т.д.

Видим, что мячи могут получать только игроки, у которых номер имеет остаток 1, 3 или 5 при делении на 6, т.е. все игроки с нечётными номерами. Все игроки с чётными номерами мяч не получат, сколько бы не продолжались передачи.

Число таких номеров равно

50 : 2 = 25.

Пусть крайние числа в нижней строке диаграммы равны a и b (см. рис.).

Тогда числа в средней строке равны an и bn. Согласно условию, их произведение равно 720, т.е. abn² = 720. Поскольку

720 = 1 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5,

то подходят следующие значения n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12. Всего имеем 6 значений.

Согласно условию, всего у фермера Фая было

4 + 6 + 12 + 13 + 22 + 29 = 86 яиц.

После того, как были проданы все яйца из одной коробки, куриных яиц осталось в два раза больше, чем утиных. Следовательно, общее количество оставшихся яиц кратно 3. При делении числа 86 на 3 получаем остаток 2. Поэтому число проданных яиц также имеет остаток 2 при делении на 3. Легко проверить, что среди количеств яиц в коробках только число 29 имеет такой остаток. Следовательно, покупатель купил 29 яиц.

Первое решение.

Рассмотрим треугольник ABR (см. рис).

Легко видеть, что ∠ARB = 90°. Углы ∠ABC и ∠BCD равны, как накрест лежащие между двумя параллельными и секущей.

По-другому равенство этих углов следует из того, что они совмещаются после поворота на 180° вокруг точки Р.

Аналогично, ∠CBE = ∠BED.

Поэтому ∠ABR = ∠ABC + ∠CBE = β + γ.

Таким образом, углы треугольника ABR равны α, β + γ и 90°. Следовательно, поскольку сумма углов треугольника равна 180°,

α + β + γ = 90°.

Второе решение.

На рисунке ниже лучи AK, CL и EN лежат на вертикальных линиях клетчатой сетки.

Легко видеть, что

∠KAB = ∠LCD = β/2.

Действительно, эти углы имеют параллельные стороны и совмещаются при параллельном переносе, при котором вершина А совмещается с вершиной С.

Далее,

α + β/2 = ∠BAD + ∠KAB = ∠KAD = 45°.

Аналогично,

γ + β/2 = ∠BEN = 45°.

Тогда

α + β + γ = 45° + 45°= 90°.

По условию, общее число монет в сундуке равно 30.

Предположим, что правду сказал Том. Тогда среди монет число золотых должно быть равно

30 – 9 – 11 = 10.

Однако то же самое утверждает Петя. Противоречие: неправдивые пираты на все три пункта солгали. Значит, правду сказал не Том.

Предположим, что правду сказал Ян. Тогда в сундуке было 7 золотых, 12 бронзовых и

30 – 7 – 12 = 11 серебряных монет.

Эти данные не совпадают ни с какими ответами других пиратов. Поэтому его ответы, действительно, могли быть правдивыми.

Предположим, что правду сказал Петя. Тогда число серебряных монет в сундуке должно быть равно

30 – 10 – 10 = 10.

Но то же самое утверждает Дима. Противоречие. Значит, правду сказал не Петя

Предположим, что правду сказал Дима. Тогда число бронзовых монет в сундуке должно быть равно

30 – 9 – 10 = 11.

Но то же самое утверждает Том. Противоречие. Значит, правду сказал не Дима.

Подводя итоги, можно заключить, что правильным является ответ Б Ян.

Пусть расстояние между А и В равно 4s. Разобьём дорогу между А и В на 4 части, равные s (см. рис.).

По условию, скорость Алекса в 3 раза больше скорости Боба. Поэтому, если Боб проедет расстояние, равное s, то Алекс за такое же время проедет расстояние 3s. Вместе они проедут всё расстояние АВ = 4s.

Видим, что их первая встреча (через 15 мин после старта) произошла в точке X. Ещё через 15 мин Боб проедет расстояние s и окажется в точке Y. Алекс за это время проедет расстояние

3s = XВ + ВY

и тоже окажется в точке Y, где и произойдёт вторая встреча с Алексом.

Видим, что они встретятся второй раз через

15 + 15 = 30 мин после старта.

Проведём отрезки, параллельные сторонам данного пятиугольника так, как показано на рис.1. Видим, что четырехугольники SLKQ и RFJS равны. Поэтому площадь четырёхугольника LJDK равна

13 – 10 = 3.

Четырёхугольника LJDK можно разбить на шесть равных треугольников (см. рис.1). Четыре из них образуют треугольник LJK. Поэтому его площадь равна 2.

Далее легко определить, что площади частей данного пятиугольника такие, как показано на рис.2. В частности, площадь прямоугольника RPTS равна

10 – 2 – 2 – 2 = 4.

Поэтому площадь данного пятиугольника равна

13 + 2 · 10 + 2 · 6 = 45 см².