После сгибания наложатся друг на друга клетки, которые находятся на равном расстоянии от линии сгибания. При этом верхняя часть рисунка в условии задачи после сгибания будет выглядеть так, как показано ниже.

Видим, что наложатся клетки , являющейся элементом цифры 0 данном числе 2024.

По условию, прыжки Маши повторяются с периодом 4. При этом впервые Маша приземляется на правую ногу на 4-м прыжке. Поэтому в следующие разы это будет на 8-м, 12-м, 16-м, 20-м и т.д. прыжке. То есть, на каждом прыжке, номер которого делится на 4. Видим, что правильным является ответ В.

Так как = BASIL, то = В. Единственное слово в вариантах ответа, которое начинается с буквы , это – . Поэтому правильным может быть только ответ В. Нетрудно убедиться, что и другие буквы этого слова соответствуют буквам слова BREAD.

По очереди размещая полоски из вариантов ответа в центр рисунка, получим:

Видим, что условию задачи удовлетворяет только четвёртый вариант, т.е. правильным является ответ Г.

Сумма длин трёх отрезков на рисунке в условии задачи равна

3 + 2 + 1 = 6 см.

Но рисунок нельзя выполнить, не отрывая карандаша от бумаги, если рисовать каждую линию только один раз. По крайней мере один отрезок нужно повторить. Путь карандаша будет наименьшим, если повторить самый короткий из отрезков. На рисунке этот путь показан.

Его длина равна

6 + 1 = 7 см.

Если посмотреть на предметы сзади, те из них, которые стояли слева, окажутся стоящими справа. Поэтому ответ А – неверный. Кроме того, предметы, которые стояли впереди, окажутся стоящими позади. Таким условиям удовлетворяет вид Б. В вариантах В и Г последнее условие нарушено. Ответ Д не является правильным, так как в нём два тонкие столбика имеют одинаковую высоту. А на рисунке в условии задачи это не так. Таким образом, правильным является ответ Б.

Вместо того, чтобы вращать оба колеса, будем считать, что внутреннее колесо неподвижно, а вращается только внешнее, но каждый раз на две позиции по ходу часовой стрелки. Нас интересуют числа рядом с буквой С. Вначале – это 3, затем 1 и т.д. Числа будут идти через одно против хода часовой стрелки. Выпишем их ряд до появления цифры 2, а также ряд такой же длины для буквы F:

3 → 1 → 6 → 4 → 2,

6 → 4 → 2 → 7 → 5.

Видим, что правильным является ответ 5.

На рисунке в условии задачи видно, что на коробке В лежит коробка D. Поэтому чтобы снять коробку В, нужно сначала снять коробку D. Поэтому после разгрузки коробка D не может оказаться лежащей на коробке В, для этого В должна быть разгружена раньше D, что не так. Следовательно, не могла получиться стопка В. Нетрудно убедиться, что остальные стопки получиться могли. Поэтому правильным является ответ В.

Ясно, что одной гири недостаточно (для этого понадобилась бы гиря в 445 г). Покажем, что и двух гирь недостаточно. При сбалансированных весах, вес на левой чаше равен весу на правой чаше. Поэтому общий вес гирь и пакета на обеих чашах должен выражаться чётным числом граммов. Вес пакета – нечётное число грамм. Поэтому нужна гиря 5 г (она единственная с нечётным числом) и ещё одна гиря из имеющихся с чётным числом грамм. Но тогда вес этой второй гири должен быть равен

445 – 5 = 440 г, или 445 + 5 = 450 г.

Таких гирь в наличии нет. Итак, понадобится не менее трёх гирь. С другой стороны, с помощью трёх гирь весы сбалансировать можно. Для этого поставим на левую чашу гирю 500 г, а на правую – две гири 50 г и 5 г. Следовательно, правильным является ответ 3.

Первые числа, в записи которых 14 раз используется цифра 2, это: 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 и 32. Следующее такое число – это 42. Первые 3 числа, в записи которых используется цифра 5, это: 5, 15 и 25. Следующее такое число – это  35. Поэтому в гостинице не более

35 – 1 = 34 номера,

причём количество 34 удовлетворяет всем условиям задачи. Таким образом, правильный ответ – ответ 34.

Общая площадь двух данных прямоугольников равна

18 + 18 = 36.

На рисунке в условии задачи видно, что склеены половины этих прямоугольников. Поэтому площадь полученного прямоугольника равна

36 – 18 : 2 = 27.

Обозначим коробки так, как показано ниже.

Так как конфета «1» имеется только в коробке А, то U = A. Рассмотрим коробку W с конфетой «2». Кроме коробки А, конфета «2» имеется только в коробке В. Поэтому W = B. Далее, конфета «3», которая осталась в коробке Z, кроме коробок А и В, имеется только в коробке С. Поэтому Z = C. Аналогично, Y = D и, наконец, X = E.

Ширину конструкции составляют бо́льшие стороны пяти плиток в основании. Поэтому бо́льшая сторона плитки равна

45 : 5 = 9 см.

Высоту конструкции составляют 3 меньшие стороны и 2 бо́льшие стороны плиток. Поэтому длина трёх меньших сторон равна

30 – 9 – 9 = 12 см,

а значит, длина одной такой стороны равна

12: 3 = 4 см.

Следовательно, площадь одной плитки равна

9 × 4 = 36 см².

Между числами 5 и 13 имеется семь различных натуральных чисел: 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12. Так как соседние числа, записанные по кругу, отличаются на 1, то по обе стороны между числами 5 и 13 должно быть не менее 7 чисел. То есть, всего по обе стороны между числами 5 и 13 должно быть не менее

7 + 7 = 14 промежуточных чисел.

Но кроме кружочков с числами 5 и 13 имеется как раз ровно

16 – 2 = 14 других кружочков.

Поэтому числа 5 и 13 записаны в диаметрально противоположных кружочках, а между ними с одной и другой стороны записаны числа от 6 до 12 (по порядку, если переходить от 5 до 13; см. рис.).

Таким образом, количество различных чисел в кружочках равно

2 + 7 = 9.

Согласно условию, первый квадрат можно разбить на 8 равных треугольников, как показано на рисунке. Половина из них – серые. Поэтому площадь данного квадрата равна

9 × 2 = 18.

Второй квадрат можно разбить на 9 меньших равных квадратов, серую часть составляют 4 из них. Так как площадь второго квадрата тоже равна 18, то площадь одного меньшего квадрата равна

18 : 9 = 2.

Тогда площадь серой части этого квадрата равна

2 × 4 = 8.

Возможны следующие случаи.

1) Одна цифра имеет 1 чёрную точку, другая – 4 чёрные точки. Таких чисел два (числа 17 и 71).

2) Первая цифра имеет 2 точки (таких цифр четыре: 2, 3, 5, 9), а вторая – 3 точки (таких цифр тоже четыре: 0, 4, 6 и 8). Получаем

4 × 4 = 16 таких двузначных чисел.

3) Первая цифра имеет 3 точки (на этот раз их три, нужно исключить 0), а вторая - 2 точки (таких цифр четыре). Это даёт

3 × 4 = 12 двузначных чисел.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют

2 + 16 + 12 = 30 чисел.

Пронумеруем столбцы сот так, как показано на рисунке 1.

На отдельном рисунке будем в ячейке ставить знак «+», если в данной ячейке есть мёд, и знак «–», если мёда нет.

В нижней ячейке столбца 3 записано число 4. И у этой ячейки имеются ровно 4 соседние с ней ячейки. Поэтому во всех этих четырёх соседних ячейках находится мёд (рис.2). Далее, как установлено, для нижней ячейки столбца 4 (в ней записано число 1) есть мёд в вышестоящей ячейке. Значит, в нижних ячейках столбцов 3 и 5 мёда нет (рис. 3). Во всех двух ячейках столбца 6 также нет мёда, иначе в ячейке столбца 7 не стояло бы число 0 (рис.3). Рассмотрим нижнюю ячейку столбца 6 (в ней стоит число 2). Согласно тому, что мы уже знаем о её соседних ячейках, мёд должен быть в средней ячейке столбца 5 и единственной ячейке столбца 7 (рис.4). Кроме того, рассматривая среднюю ячейку столбца 5 (в ней стоит число 3), заключаем, что мёд должен быть в верхней ячейке этого столбца и во второй сверху ячейке столбца 4 (рис.4). Наконец, просматривая оставшиеся ячейки справа налево, определяем их статус и получаем окончательный результат на рис.5. У нас получилось 9 знаков «+», т.е. мёд есть в 9 ячейках.

Сумма всех чисел в кружках равна

1 + 2 + ... + 10 = 55.

Если же сложить числа во всех трёх указанных четвёрках, получим:

23 +23 +23 = 69.

Но в последнем случае искомое число будет посчитано 3 раза. Поэтому сумма 69 больше суммы 55 на 2 искомых числа.

Так как 69 – 55 = 14, искомое число равно

14 : 2 = 7.

Хотя ответ уже найден, не трудно убедиться, что вписать числа от 1 до 10 в кружочки, как требуется в условии, можно. Например:

7 + 1 + 6 + 9 = 7 + 3 + 5 + 8 = 7 + 2 + 4 + 10.

Общая площадь отрезанных квадратов равна

36 + 9 + 4 + 1 = 50.

Тогда площадь исходного квадрата равна

50 × 2 = 100.

Следовательно, это был квадрат со стороной 10. Его периметр равен

10 × 4 =40.

В то же время, внутренние стороны вырезанных квадратов (т.е. те, которые лежат внутри исходного квадрата и по которым были произведены разрезы) равны их внешним сторонам (т.е. тем, которые лежат на сторонах исходного квадрата). Поэтому периметр полученной фигуры равен периметру исходного квадрата и, значит, равен 40.

Будем считать строчки сверху вниз, а столбцы слева направо, и вписывать числа в соответствии с правилами. Согласно условию, число 3 во второй строчке третьем столбце больше всех соседних чисел и, значит, они равны 1 или 2. При этом число справа от него (второе сверху в четвёртом столбце) больше нижестоящего числа в этом столбце. Поэтому два средних числа в четвёртом столбце – такие, как на рис.1.

Поскольку во всех столбцах и всех строчках числа должны быть различными, слева от рассматриваемого числа 3 должно быть число 1, снизу – число 2, и тогда сверху – число 1 (см. рис.1.). Так как во второй строчке и третьем столбце расположения чисел 1, 2, 3 уже определены, то в оставшихся кружочки этих строчки и столбца вписываем число 4. Далее рассмотрим на рис.1 третью строчку и четвёртый столбец. Согласно правилам, недостающие числа 3 и 4 в них можно вписать только так, как показано на рис.2. После этого однозначно заполняются пустые на рис.2 кружочки так, как показано на рис.3. Видим, что в серый кружочек должно быть вписано число 1.

Разобьем пары числа на гранях кубика так, чтобы в парах были числа, расположенные на противоположных гранях кубика. На рисунке видно, что все шесть чисел на шести гранях данного кубика – это числа 5, 8, 13, 17, 22 и 34.

Рассмотрим число 8. На первых двух изображениях кубика видно, что соседними с ним числами (т.е. числами на соседних гранях) являются числа 22, 34, 5 и 13. Значит, на противоположной грани к грани с числом 8 может быть только число 17. Получаем первую пару {8, 17}.

Теперь рассмотрим число 13. На втором и третьем изображениях кубика видно, что соседними с ним являются числа 5, 8, 17 и 22. Поэтому противоположным к числу 13 является число 34. Получаем вторую пару {13, 34}.

Итак, четыре из шести чисел мы уже распределили по парам противоположных. Тогда оставшиеся два числа образуют третью (последнюю) пару {5, 22}.

Итак, получили следующее разбиение на пары:

{8, 17}, {13, 34}, {5, 22}.

Далее, видим, что на верхних гранях кубиков на рисунке находятся числа 34, 5 и 17. Тогда на нижних гранях находятся парные им числа 13, 22 и 8 соответственно. Их сумма равна

13 + 22 + 8 = 43.

Обозначим неизвестные стороны данных прямоугольников так, как показано на рисунке.

Тогда a = 45 : 5 = 9 см.

Далее, длина b = 13 – а = 13 – 9 = 4 см;

длина c = 40 : b = 40 : 4 = 10 см;

длина d = 16 – с = 16 – 10 = 6 см;

длина e = 48 : d = 48 : 6 = 8 см;

длина f = e – b = = 8 – 4 = 4 см;

длина g = c – 5 = 10 – 5 = 5 см.

Поэтому площадь серого прямоугольника равна

g × f = 5 × 4 = 20 см².

На схеме трамвайных линий можно найти тройки линий, такие, что в данной тройке каждая линия пересекается с двумя другими. Например, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {3, 6, 7} и др. Для окрашивания линий в каждой такой тройке понадобится 3 различных цвета. Следовательно, для окрашивания всех линий на схеме нужно не менее трёх различных цветов. С другой стороны, пример на рисунке показывает, что трёх цветов достаточно.

Видим, что левые треугольники правого неокрашенного квадрата являются соседними с зелёными треугольниками и, значит, тоже должны быть зелёные. После склеивания правые треугольники станут соседними с левыми треугольниками левого квадрата. На рисунке также показано, с какими треугольниками станут соседними верхние и нижние треугольники. Поэтому неокрашенный квадрат должен быть окрашен так, как показано на рисунке, т.е., как в ответе Б.

Если 3 кружки поставить на соответствующие блюдца, то остаётся одна кружка и одно блюдце, которые не могут быть несоответствующими. Поэтому утверждение Г не может быть верным. Легко видеть, что остальные утверждения могут быть верными. Поэтому верным является ответ Г.

Сумма всех данных чисел равна

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Если рассматривать две противоположные грани, на них будут расположены все эти числа, на каждый грани по четыре. Поэтому сумма чисел на каждой грани должна быть равна

36 : 2 = 18.

Сначала рассмотрим правую грань. Сумма двух уже записанных чисел в вершинах этой грани равна

8 + 7 = 15.

Тогда сумма ещё двух чисел в вершинах этой грани должна быть равна

18 – 15 = 3.

Следовательно, этими двумя числами могут быть только числа 1 и 2.

Теперь рассмотрим нижнюю грань. Сумма уже записанных чисел на этой грани равна

8 + 6 = 14.

Поэтому сумма еще двух чисел на этой грани должна быть равна

18 – 14 = 4.

Следовательно, этими числами должны быть числа 1 и 3.

Рассмотренные две грани имеют две общие вершины. В одной из них число 8, уже вписано вначале. Второе общее число – это то число, которое принадлежит обеим парам {1, 2} и {1, 3}. Им является число 1. Поэтому в вершине со знаком вопроса должно быть число 3.

Хотя правильный ответ уже найден, нетрудно продолжить и вписать числа во все вершины (см. рис.).

Согласно условию задачи, число розданных конфет делится на 20, и частное при делении равно числу внуков. Поэтому чем меньше розданных конфет – тем меньше внуков. И наоборот, так как число розданных конфет равно числу внуков, умноженному на 20, чем меньше внуков – тем меньше розданных конфет, а значит, и число всех конфет у бабушки.

Далее, так как осталось 12 конфет, и бабушка не может продолжить их раздачу своим внукам, число внуков больше 12. Следовательно, чтобы конфет было как можно меньше, внуков должно быть 13. Поэтому наименьшее возможное число конфет у бабушки равно

20 × 13 + 12 = 272.

Дима разделил верёвку на 12 равных частей и, значит, отметил на ней 11 точек. Миша разделил эту верёвку на 16 равных частей и, значит, отмечал на ней 15 точек. Но 3 из 12 частей Димы составляют четверть верёвки – столько же, как 4 из 16 частей Миши. Поэтому верёвка оказалась разбита на 4 равных части двойными совпадающими точками. Таких совпадений 3. Других совпадений нет. Поэтому Майя сделала

11 + 15 – 3 = 23 разреза.

В результате, у неё получилось

23 + 1 = 24 куска верёвки.

Легко видеть, что есть ровно 2 возможности выбрать голову гусеницы (первая или вторая плитка) и при каждом выборе – 2 способа выбрать хвост (шестая или седьмая плитка). Всего имеется

2 × 2 = 4 способа выбора головы и хвоста.

При каждом выборе головы и хвоста есть 5 способов выбора промежуточных плиток (см. рис.).

Следовательно, число различных гусениц, которые Эмма может построить, равно

4 × 5 = 20.

Пусть трёхзначное число Евы равно А. Если бы Брэндон приписал справа к нему цифру 0, то получилось бы число

10 × А.

Поэтому, если Брэндон приписал цифру b, то получилось число

10 × А + b.

Согласно условию,

10 × А + b – А = 2024,

откуда 9 × А = 2024 – b.

Поэтому цифра b – такая, что число 2024 – b делится на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 2024 равна 8. Она может увеличиться, только при b > 4. Далее, небольшой перебор показывает, что подходит только b = 8.

Можно закончить решение немного по-другому, без перебора. Мы получили уравнение, которое можно записать в виде:

2024 = 9 × А + b.

Такое равенство означает, что b – остаток при делении числа 2024 на 9. Делим 2024 на 9 с остатком и получаем

b = 8.

Неполное частное при таком делении – это число

А = 224.