На рисунке Д одна часть квадрата состоит из 9 клеток, а другая из 7 клеток (см. рис.).

Поскольку их площади не равны, то и части не равны. На четырёх других рисунках части квадрата можно совместить с помощью поворотов вокруг центра квадрата. Поэтому эти части равны.

Кратчайший и единственный путь пожарного легко строится, если двигаться с конца, т.е. от места пожара к пожарному. Он показан на рисунке, и на нём 6 лестниц.

Если удалить из прямоугольника 4 × 7 окрашенные 2 строчки и 1 столбец, то останутся 2 неполные строчки и 6 неполных столбцов. При любом способе удаления из них можно склеить прямоугольник 2 × 6. Он состоит из 12 клеток. Такой прямоугольник получается непосредственно, если удалить, например, 2 верхние строчки и правый столбец (см. рис.). Таким образом, число неокрашенных клеток равно 12.

Продолжим рисовать стрелки, указывающие передачи мяча (см. рис.).

Видим, что повторно получит мяч игрок 1, и получит его от игрока 9.

Это можно было определить и без рисунка. Поскольку 11 не делится на 3, стрелки не могут образовать замкнутый цикл, в который входили бы не все 11 номеров. Отсюда следует, что повторно получит мяч тот игрок, который имел его вначале.

У второго числа последние две цифры 98, поэтому у третьего числа последние две цифры 99. Тогда последнее число – это число 4899, а тогда второе число – 4898, а первое – 4897. Следовательно, правильным является ответ Г 489, 4, 99.

Сумма трёх наименьших различных положительных чисел равна

1 + 2 + 3 = 6.

Поэтому, если сумма трёх различных чисел равна 7 (т.е. на 1 больше), то это может быть только сумма

1 + 2 + 4 = 7.

Видим, что стоимость самой дорогой из трёх покупок равна 4 руб.

Заметим, что каждую фигуру на картинках А)–Д) можно рассматривать как 4 столбика из разных количеств кубиков. Например,

фигурка А) – это столбики высоты 2, 2, 4, 1;

фигурка Б) – столбики высоты 3, 1, 4, 1;

В) 3, 1, 2, 3;

Г) 1, 2, 3, 3;

Д) 2, 1, 4, 2.

Из всех приведённых четвёрок чисел путём уменьшения ровно одного числа на 1 нужно получить четвёрку 2, 1, 3, 2. Видим, что это можно сделать лишь из Д)

2, 1, 4, 2 → 2, 1, 3, 2.

Если принять сторону плитки за 1, то плакат имеет размеры 6 × 7 и, значит, закрывает 42 плитки. В каждом столбце, закрытом плакатом поровну серых и белых плиток (по 3). Поэтому под всем плакатом серых и белых плиток также поровну, т.е. по

42 : 2 = 21.

Аня за 4 хода оказалась на клетке 4. Это возможно только, если 2 раза пройти на 3 клетки вперёд и 2 раза вернуться на 1 клетку назад:

3 + 3 – 1 – 1 = 4.

Поэтому у Ани 2 раза выпала фиолетовая сторона монеты и 2 раза зелёная (не важно в каком порядке). Лёша после 4 ходов оказался на клетке 8. Это возможно только, если 3 раза пройти на 3 клетки вперёд и 1 раз вернуться на 1 клетку назад:

3 + 3 + 3 – 1 = 8.

Поэтому у Лёши 3 раза выпала фиолетовая сторона монеты и 1 раз зелёная. Всего зелёная сторона выпала

2 + 1 = 3 раза.

Повторим непосредственно удаления дисков так, как это делала Ада (см. рис.).

Видим, что в результате получилась башня, указанная в ответе Б.

Число 26 можно представить в виде суммы чисел 4 и 5 только так:

4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 = 4 × 4 + 2 × 5 = 16 + 10 = 26.

Это значит, что один птенец 4 раза съел по 4 рыбки и 2 раза – по 5.

Тогда другой птенец за это время 4 раза съел по 5 рыбок и 2 раза – по 4. Всего он съел

4 × 5 + 2 × 4 = 20 + 8 = 28 рыбок.

Первое решение. Аня получила виноград, потому что только он ей нравится. Тогда Гена получил банан, так как виноград достался Ане. Так как уже определено, кому достался виноград и банан, Вале однозначно досталась клубника. Тогда Диме достались вишни. В результате видим, что Боре досталось яблоко.

Второе решение. Согласно условию 5 фруктов распределили между 5 детьми так, что каждому достался фрукт, который нравится. Заметим, что яблоко никому не нравится, кроме Бори. Поэтому оно Боре и досталось.

Чтобы сумма чисел внутри каждой окружности была равна 10, правее числа 6 должно быть число

10 – 6 = 4,

а левее числа 3 – число

10 – 3 = 7 (см. рис.1).

Далее, сумма числа, обозначенного знаком «?», и числа левее его должна равняться

10 – 4 = 6.

А сумма числа, обозначенного знаком «?», и числа правее его должна равняться

10 – 7 = 3.

При этом оставшиеся три числа – это 1, 2 и 5.

Есть только один вариант, как из двух таких чисел можно получить нужные нам суммы:

6 = 5 + 1 и 3 = 1 + 2 (см. рис.2.).

Следовательно, искомое число – это число 1.

Сразу после головы гусеницы может располагаться

1) либо пазл с вишнями, либо

2) пазл с виноградом.

В первом случае продолжить построение можно 2 способами и во втором случае – тоже двумя (см. рис.).

Всего можно построить

2 + 2 = 4 различные гусеницы.

Согласно условию, на обратной стороне карточки с числом 6 находится число 2, а на обратной стороне карточки с числом 5 – число 4. Поэтому ещё два числа на серых сторонах карточек (кроме чисел 2 и 4) – это числа 1 и 3. Их сумма равна

1 + 3 = 4.

На узоре видно, что по длине бо́льшая сторона прямоугольной плитки равна меньшей стороне этой плитки и двум сторонам квадрата. Поэтому длина двух сторон квадрата равна

23 – 11 = 12 см.

А тогда длина одной стороны квадрата равна

12 : 2 = 6 см.

Первые два числа заканчиваются цифрами 3 и 4. Их сумма

3 + 4 = 7,

а сумма всех трёх чисел, по условию, заканчивается цифрой 2. Поэтому третье число заканчивается цифрой 5, и значит, последнее число – это число 415. Тогда сумма первых двух чисел равна

782 – 415 = 367.

Поскольку при сложении первых двух чисел нет переносов цифр из младших разрядов в старшие, сумма цифр десятков у этих чисел равна 6. Таким образом, сумма пропавших цифр равна

6 + 5 = 11.

Заметим, что в отличие от третьего числа, первое и второе числа определяются неоднозначно. Существует 7 пар таких чисел, единственное условие для них: сумма цифр десятков равна 6.

Если собрать вместе все предметы на первых трёх весах, то получится удвоенный комплект предметов на четвёртых весах. Сумма весов всех предметов на первых трёх весах равна

200 + 100 + 240 = 540 г.

Поэтому общий вес данных трёх предметов равен

540 : 2 = 270 г.

Выпишем несколько первых учеников, закодировав их парой цветов (цвет жилета: Ж – желтый, З – зелёный; цвет рюкзака: Кр – красный, Ко – коричневый, Ор – оранжевый). Получим ряд:

Ж-Кр, З-Ко, Ж-Ор, З-Кр, Ж-Ко, З-Ор, Ж-Кр, З-Ко, Ж-Ор, З-Кр, Ж-Ко, З-Ор, …

Заметим, что оба цвета повторяются через пять на шестой. Поэтому если разбить весь ряд на 10 шестёрок, то в каждой шестёрке будет по одному коду Ж-Ор. Следовательно, среди данных 60 учеников 10 имеют жёлтый жилет и оранжевый рюкзак.

Так как сумма двух цифр не больше 18, то в правых частях равенств первая цифра

Поэтому данные два равенства можно переписать в виде:

Сложив, эти два равенства получим:

откуда

т.е.

Тогда

В результате,

Ясно, что для соблюдения условия обе лягушки должны переместиться по горизонтали, либо обе должны переместиться по вертикали. И в том и в другом случае легко просматриваются ровно по два возможных способа перемещения лягушек – итого 4 способа. Все они приведены на рисунке.

Пронумеруем столбцы сот так, как показано на рисунке 1.

У ячейки в столбце 5 имеются ровно 2 соседние (обе в столбце 4). Согласно условию, во всех них есть мёд. У нижней ячейки столбца 4 имеется 4 соседние ячейки. По условию, во всех них есть мёд. Таким образом, есть мёд в двух нижних ячейках столбца 3, и во всех ячейках столбцов 4 и 5 (на рис.2 ячейки с мёдом – белые). Далее, у верхней ячейки столбца 3 есть ровно 3 соседние ячейки; по условию, во всех должен быть мёд. Поэтому должен быть мёд в верхней ячейке столбца 2. Итак, мы имеем 6 ячеек, в которых есть мёд (см. рис.2). При этом для всех ячеек условия задачи выполняются. Следовательно, правильным является ответ 6.

Первая (в очереди) девочка брала не сердечки. Действительно, на подносе 11 сердечек. Но, по условию, ни одна девочка не взяла 11 печенек. Если бы первая (в очереди) девочка взяла все белые печеньки (их 7), то осталось бы 9 сердечек: 4 больших и 5 маленьких. После этого две другие девочки не могли бы взять одна 3, а другая 6 печенек, как требуется в условии задачи. Значит, первая (в очереди) девочка взяла 7 больших печенек.

Вторая (в очереди) девочка не могла взять все белые печеньки, так как их осталось 4 (столько печенек не взяла ни одна из девочек). Поэтому вторая девочка взяла все оставшиеся сердечки (их 6). В результате, третьей девочке достались 3 печеньки, указанные в ответе Д.

Данный куб состоит из 8 маленьких кубиков. Каждый маленький кубик содержит, по крайне мере, один белый блок. Не менее двух из восьми маленьких кубиков, как видно на рисунке в условии задачи, состоят из 4 белых блоков. Поэтому белых блоков во всей конструкции не менее

4 + 4 + 6 = 14.

С другой стороны, легко видеть, что построить такую конструкцию использовав ровно 14 белых блоков, можно.