В каждой строчке 8 клеток. Поэтому, согласно способу заполнения таблицы, каждое число, начиная с чисел второй строчки, будет на 8 больше вышестоящего. В вариантах ответа только в варианте В для обоих нижестоящих чисел (20 и 29) выполняются эти условия. Поэтому правильный ответ – ответ В.

Число Д) 800 сложить из 7 спичек невозможно. Для этого понадобилось бы 7 + 6 + 6 = 19 спичек. Числа в первых четырёх вариантах ответа сложить из 7 спичек можно. Наибольшим из них является число Г) 711.

Для удобства заменим рисунки на цветные

Из развёртки видно, что голубая грань кубика противоположна одной из жёлтых граней и является соседней с другой жёлтой гранью. Это исключает ответ А), в котором голубая грань соседствует с обеими жёлтыми. Далее, видно, что после сворачивания развёртки обратно в кубик стрелки на голубой и соседней с ней жёлтой гранях будут расположены параллельно друг другу и направлены в противоположные стороны (одна вверх, другая вниз; одна влево, другая вправо и т.п.) – это исключает ответы В) и Д). А вот стрелки на соседних жёлтых гранях не будут параллельны, т.к. одна из них параллельна общему ребру этих граней, а другая направлена на него – это исключает ответ Г). Остался единственный (а значит, правильный) ответ Б), который не противоречит развёртке.

Чтобы выбрать четыре диска из данных пяти дисков, нужно один диск из полного набора удалить. Удалить один диск из пяти можно пятью способами. Получим 5 различных наборов дисков. Все четыре оставшихся диска в этих наборах имеют разные размеры. Поэтому башня из каждого такого набора с соблюдением условия задачи строится однозначно. Следовательно, Аня может построить 5 разных башен.

На рисунке видно 9 чёрных ступенек (некоторые – частично). Всего у башни 21 слой. С каждой следующей на пути ступенькой Коля поднимается на 1 слой. Поэтому, чтобы подняться наверх, Коле нужно пройти 21 ступеньку. Так как на рисунке видно 9 чёрных ступенек, то не видно

21 – 9 = 12 чёрных ступенек.

Треугольник разрезается на два треугольника по линии, проходящей через вершину и любую внутреннюю точку противоположной стороны. Фигуры Б), В) и Д) – четырёхугольники. Их можно разрезать на два треугольника по диагонали. Шестиугольник на два треугольника разрезать нельзя. Наименьшее число вершин у двух частей, полученных после разрезания шестиугольника, будет, если разрез сделан по диагонали, и оно равно 6 + 2 = 8. А у двух треугольников число вершин равно 3 + 3 = 6. Поэтому шестиугольник нельзя разрезать на два треугольника. Таким образом, правильным является ответ Г).

Лента P наклеена поверх всех других лент. Поэтому она наклеена последней. Далее, видно, что лента Q наклеена поверх M и N. Поэтому лента Q наклеена предпоследней. Наконец, лента M наклеена поверх ленты N. Поэтому лента N наклеена первой, а лента M – второй. В результате видим, что ленты были наклеены в порядке N, M, Q, P.

Дополним каждую из фигур 1 – 4 до шестиугольника соответствующих размеров так, как показано на рисунке.

Видим, что шестиугольник образуют фигуры 1 и 3.

На рисунке в условии задачи видно следующее. Если смотреть по ходу часовой стрелки, то разность между числами в первом и втором отверстиях равна 4, разность между числами во втором и третьем отверстиях равна 2. При этом первое и третье отверстия диаметрально противоположны, и разница между числами в них равна 6. В вариантах ответа А) 2, 4 и 9, Б) 1, 5 и 10, Д) 5, 7 и 12 нет чисел, разность которых равна 6. В ответе Г) нет чисел, разность которых равна 2. Поэтому названные ответы не являются верными. А ответ В) 4, 6 и 12 всем условиям удовлетворяет. Он получится, если повернуть чёрный круг на 1 единицу против хода часовой стрелки.

Серый лист – это полукруг. Поэтому после наклейки всех листов серая часть полученного результата – это либо весь данный полукруг, либо какая-то его часть, не покрытая белыми четвертями круга. С учётом сказанного результат В) получиться не мог. Несложно убедиться, что остальные результаты получить можно. Таким образом, правильный ответ – ответ В).

У числа , следующего после первого числа , изменились обе цифры. Следовательно,  = 9,  = 0. А тогда у следующего после числа цифра  = 1. Итак, первое число – это число 19. Тогда второе число равно 20, в частности,  = 2. Поэтому число  = 21. Следовательно, следующее за ним число – число 22 – запишется в виде

Из условия следует, что сторона маленькой плитки равна

80 : 4 = 20 см.

Тогда сторона средней плитки равна

20 · 2 = 4 см,

а сторона самой большой плитки равна

20 · 3 = 60 см (см. рис. в условии задачи).

Змея по длине составляет 5 сторон маленьких плиток, 5 сторон средних плиток и 2 стороны больших плиток. Поэтому длина змеи равна

5 · 20 + 5 · 40 + 2 · 60 = 420 см.

В зеркале цифры будут видны в обратном порядке, причём вместо цифры 2 будет видна симметричная ей цифра 5, а вместо цифры 5 – цифра 2. Поэтому, если в зеркале часы показывают 12:15, то реальное время 21:51. Через 30 минут время на часах будет 22:21. Поэтому в зеркале часы будут показывать 15:55.

На рисунке показано, как выглядит завершённый пазл с выделенными недостающими элементами. Видим, что для окончания сборки нужны плитки 2 и 4.

Если Рита говорит правду, то Петя врёт, и наоборот, если Рита врёт, то Петя говорит правду. Поскольку, по условию, только один школьник говорит правду, то это либо Петя, либо Рита. Следовательно, Маша и Толя врут. А так как Толя говорит, что не он разбил окно и при этом он врёт, то именно он – Толя – разбил окно.

Заметим, что средний верхний прямоугольник является соседним со всеми другими 4 прямоугольниками. Поэтому, если данный прямоугольник окрашен в какой-то цвет (это можно сделать 3 способами, и пусть выбран цвет №1), то остальные прямоугольники могут быть окрашены только с помощью двух цветов №2 и №3. При этом существует только два способа окраски этих четырёх прямоугольников (см. рис.)

Всего получаем 3 · 2 = 6 различных раскрасок.

Блоки в порядке возрастания размеров расположены как 1423. Их нужно расположить в порядке 1234. За один раз это сделать нельзя, так как блок 1 окажется не на своём месте. За два хода также нельзя расположить блоки так, как требуется. Действительно, блок 1 уже находится на нужной позиции. После первого хода он переместится на неподходящую позицию. Для того чтобы вторым ходом его вернуть обратно, необходимо сделать обратный ход. В результате получим начальное расположение блоков. Итак, необходимо не менее трёх ходов. С другой стороны, за три хода упорядочить блоки, как требуется в условии, можно:

1423 → 4123 → 3214 → 1234 (см. также рис.)

Всего на круговой дистанции имеется 22 позиции. «Финиш» находится на 11-й после «старта» позиции. Поэтому Бобёр достигнет «финиша» через 11 ходов. Кролик на первом круге пропускает «финиш» и возвращается в позицию «старт». Следовательно, и далее он будет пропускать позицию «финиш» и никогда на ней не окажется. Кенгуру на первом круге пропускает позицию «финиш». Но его скорость в 3 раза больше скорости Бобра. Поэтому за то время, как Бобёр переместится на половину круга и окажется в позиции «финиш», Кенгуру переместится на полтора круга и тоже окажется на позиции «финиш». Видим, что правильным является ответ Д Кенгуру и Бобёр.

Сумма чисел в серых клетках таблицы равна

1 + 2 + 7 + 4 + 6 = 20,

а сумма чисел в белых клетка равна

3 + 5 + 13 + 8 + 11 = 40.

Разность между ними равна

40 – 20 = 20.

Чтобы уравнять эти суммы, первую нужно увеличить на

20 : 2 = 10,

а вторую уменьшиться на 10. Поэтому поменять местами нужно числа в серой и белой клетках, такие, что число в серой клетке на 10 меньше числа в белой клетке. Легко видеть, что такими являются только числа 1 и 11.

На рисунке показаны направления движения всех шестерён. На этом рисунке видно, что будут подниматься ящики вверх 2 и 3.

Согласно условию, на двух коробках в среднем ряду в совокупности должно быть 4 кружочка, два треугольника и 1 квадратик. Два кружочка и квадратик «переходят» во второй ряд из крайних коробок нижнего ряда. Затем они «переходят» на верхнюю коробку пирамиды. Остальные 4 – 2 = 2 кружочка и 2 треугольника должны «добавиться» к ним из коробок нижнего ряда. Средняя коробка нижнего ряда «передаёт» в коробки вышестоящего ряда двойной вклад. Поэтому в ней должна быть половина от того, что нужно «добавить» во второй ряд, т.е. 1 кружочек и 1 треугольник. Таким образом, правильным является ответ Г. Ниже приведён соответствующий рисунок.

На рисунке в условии видно, что лист бумаги должен быть повёрнут 3 раза, 2 из них – после того, как напечатан штамп. Следовательно, правильным является ответ RSRR.

Фигура на рисунке в условии задачи состоит из

3 + 2 + 2 + 1 = 8 кубиков.

Конструкция, которую нужно получить, должна состоять из

3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 = 15 кубиков (считаем по таблице в условии задачи).

Поэтому Марта выбрала фигуру, состоящую из

15 – 8 = 7 кубиков.

Непосредственные подсчёты показывают, что только фигура Г) состоит из 7 кубиков. И её действительно можно склеить с фигурой в условии так, что получится нужная конструкция. Поэтому правильным является ответ Г.

По-другому найти этот ответ можно так. Рассмотрим таблицу конструкции, которую склеила Марта (см. рис.).

В ней красным цветом окрашены клетки столбцов, которые по количеству кубиков в точности совпадают со столбцами фигуры из условия задачи. Поэтому белые клетки в этой таблице в точности определяют искомую фигуру. Числа в белых клетках указывают высоту столбцов, а расположение клеток – расположение соответствующих столбцов. Просматривая варианты ответа, видим, что белые клетки таблицы и числа в них определяют фигуру Г).

Чтобы расстояния между соседними столбами было одинаковым, это расстояние (в метрах) должно быть делителем чисел 24, 30 и 66.

НОД (24, 30, 66) = 6.

Поэтому наименьшее число промежутков между столбами должно быть равно

120 : 6 = 20.

Тогда число столбов будет равно

20 + 1 = 21.

Первоначально имеется 4 столба. Поэтому нужно добавить

21 – 4 = 17 столбов.

Заметим, что в новой башне под каждым блоком с чётным номером n находится блок с нечётным номером n – 1. А над каждым блоком с чётным номером n находится блок с нечётным номером n – 3. Из предложенных вариантов ответа эти условия выполняются только в ответе Д) 27 и 30.

Наименьшая из сумм, которые можно получить, равна

1 + 2 + 3 = 6.

Далее заметим, что у каждой карточки число на обороте на 3 больше числа на лицевой стороне. Поэтому, перевернув любую из карточек с числами 1, 2 или 3, мы увеличим сумму на 3 и получим значение 9. Перевернув ещё одну карточку (обратной стороной вверх), мы увеличим сумму ещё на 3 и получим 12. Наконец, перевернув третью карточку, получим сумму 15. Таким образом, Мартин может получить только 4 различные суммы: 6, 9, 12 и 15.

Вычислим в «кепках» стоимости указанных в ответах наборов. Согласно условию,

2 футболки = 3 кепки, откуда

1 футболка = 1,5 кепки;

3 юбки = 8 футболок = 12 кепок, откуда

1 юбка = 4 кепки;

2 шляпы = 5 юбок = 20 кепок, откуда

1 шляпа = 10 кепок.

Тогда

А) 1 шляпа + 5 юбок = 10 + 5 · 4 = 30 кепок;

Б) 1 шляпа + 3 юбки + 1 кепка = 10 + 3 · 4 + 1 = 23 кепки;

В) 8 юбок + 6 футболок = 8 · 4 + 6 · 1,5 = 41 кепка;

Г) 37 кепок;

Д) 3 юбки + 3 кепки = 3 · 4 + 3 = 15 кепок.

Видим, что наиболее дорогим является комплект В) 8 юбок и 6 футболок.

Если игроку останется одна плитка, то этот игрок проиграет. Если игроку осталось 2, 3, 4, 5 или 6 плиток, то этот игрок после своего хода может оставить 1 плитку противнику и, тем самым, выиграет. Если игроку осталось 7 плиток, то после своего хода он может оставить 2, 3, 4, 5 или 6 плиток и, значит, его противник выиграет. Итак, если Соня возьмёт 3 плитки и оставит 7 плиток, то она выиграет. Если же она оставит 8 или 9 плиток, то после этого Роберт сможет оставить 7 и, тем самым, он выиграет, а Соня проиграет. Видим, что правильным является ответ 7.

Все данные фигуры можно считать вписанными в квадрат 2 × 2. Определим, какую по площади часть этого квадрата они составляют. Это легко сделать, если предварительно данные фигуры и квадраты 2 × 2 разбить на части, как показано на следующем рисунке.

Видим, что фигуры W, бриллиант и молния по площади составляют ровно половину квадрата 2 × 2, а площадь фигуры корона больше половины квадрата, так как точки ломанной, образующей фигуру, лежат выше нижнего основания квадрата.

Будем строить искомый путь частями. Заметим, что если какие-то белые кружочки соединены отрезками с 1 или 2 другими белыми кружочками, то соединяющие их отрезки обязаны быть частями искомого пути. Окрасим эти кружочки в зелёный цвет и проведём соответствующие отрезки (тоже зелёного цвета; см. первый рис.).

После этого рассмотрим кружочки синего цвета. Их четыре, и их можно соединить не более чем с двумя соседними кружочками, которые ещё не являются промежуточными на построенных участках пути. Добавим соответствующие отрезки к уже построенным (на рисунке они синего цвета). Теперь рассмотрим кружочек, отмеченный символом X. Отрезками пути, которые через него проходят, могут быть только отрезок слева от данного кружочка и отрезок внизу. Легко видеть, что отрезок слева может быть только входящим, а отрезок внизу – выходящим из данного кружочка. Таким образом, правильным является ответ Б) ↓. После этого несложно добавить недостающие звенья, чтобы получить весь путь (см. нижний рисунок). Видим, что путь, удовлетворяющий условию задачи, строится однозначно.