Дорисуем удалённые части отрезков (см. рис.).

Видим, что удалённым является фрагмент Д.

Один прямолинейный разрез многоугольника на две части увеличивает число вершин не более чем на 4. Поэтому части, которые получатся после разрезания треугольника, имеют не более 3 + 4 = 7 вершин. А две трапеции вместе имеют 8 вершин. Следовательно, треугольник разрезать на две трапеции нельзя. Фигуры в других вариантах ответа на две трапеции разрезать можно (см. рис.).

На рисунке в условии задачи видно, что разница между числами в отверстиях серого круга равна 4. Ясно, что это соотношение сохраняется при поворотах данного круга (с некоторой поправкой, если одно из отверстий при повороте минует число 12 или окажется на нём). Поэтому, если в одном из отверстий оказалось число 8, то в другом будет либо 8 – 4 = 4, либо 8 + 4 = 12 (см. также рис.).

Проведём стрелки, показывающие месторасположение машинок через следующие 5 секунд (см. рис.).

Видим, что машинки А и С столкнутся через 10 секунд. Никакая другая пара машинок не столкнётся.

Заметим, что суммы двух чисел на любых двух противоположных рёбрах одинаковы. Действительно, если, например, в вершинах вписаны числа a, b, c, и d, то на одной паре противоположных рёбер сумма чисел будет равна

(a + b) + (c + d) = a + b + c + d,

на другой паре противоположных рёбер сумма чисел будет равна

(a + d) + (b + c) = a + b + c + d.

Следовательно, на ребре со знаком «?» должно быть записано число

8 + 13 – 9 = 12.

После сгибания вертикальные отрезки отобразятся на нижнюю часть листа симметрично относительно пунктирной линии (см. рис.). Поэтому получим результат в ответе В.

Согласно условию задачи, площадь пола равна

4 · 6 = 24 (кв. ед.).

Плитки вида Г) имеют площадь 5 (кв. ед.). Но 24 не делится на 5. Поэтому плитками Г) пол выложить нельзя. А плитками, указанными в других вариантах ответа, выложить данный пол можно (см. рис.).

Согласно условию, 150 · 0,4 = 60 монет выпали орлом и 150 · 0,6 = 90 – решкой. Половина от числа всех монет равна 150 : 2 = 75. Поэтому число монет, выпавших орлом, надо увеличить на 75 – 60 = 15, а число монет, выпавших решкой, уменьшить на 90 – 75 = 15. Видим, что нужно перевернуть 15 монет, выпавших решкой.

По-другому правильный ответ можно найти так. Чтобы орлов и решек было поровну, нужно перевернуть 10% от общего числа монет (тех, которые лежат решкой). Тогда число орлов увеличится на 10%, а число решек уменьшится на 10%. В результате и тех, и других станет по 50%, что и требуется. Далее, 10% от 150 – это 150 · 0,1 = 15.

Пронумеруем диски числами от 1 до 5 в порядке возрастания их радиуса. Тогда «построить башню» так, как требуется в условии, означает выбрать три из данных чисел и расположить их в порядке возрастания. Так как все числа различны, то расположить любые три из них в порядке возрастания можно только одним способом. Поэтому число башен равно числу способов выбрать 3 числа из 5. Это число равно числу способов удалить 2 числа из 5. Для тех, кто знаком с комбинаторикой, оно равно числу сочетаний

Поскольку это число небольшое, все способы удалить 2 числа из 5 можно выписать и подсчитать непосредственно:

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5); (3, 5).

Видим, что число таких пар равно 10.

Сумма всех чисел от 1 до 8 равна

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Поэтому сумма чисел в каждом из 4 столбцов должна быть равна

36 : 4 = 9.

В результате легко определяются числа в пустых клетках первых трёх столбцов (см. рис. 1).

Далее, сумма чисел в каждой строчке должна быть равна

36 : 2 = 18.

С учётом этого находим числа в правых клетках строчек (см. рис. 2). Видим, что правильным является ответ 7.

Так как после добавления 1 к первому числу получаем второе число, у которого изменилась первая цифра, то ◊ = 9, а △ = 0 и тогда, так как третье число на 1 больше второго, □ = 1. Таким образом, первое число – это 199. Тогда второе число – 200 и, значит, ♡ = 2. Тогда четвёртым должно быть число 202, которое в применяемых символах запишется как ♡△♡.

Куб имеет 6 граней. Каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Поэтому число окрашенных рёбер не может быть меньше 6 : 2 = 3. С другой стороны, 3 ребра окрасить так, как требуется в условии задачи, можно (см. рис.).

Заметим, что если в каждом кольце сложить вместе все попадания Толи и Вани, то их будет ровно в два раза больше, чем количество попаданий Лизы. Следовательно, Лиза набрала

(46 + 34) : 2 = 40 очков.

Ровно из 6 спичек состоят цифры 0, 6 и 9. Т.к. число должно быть положительным, то 0 не подходит. То есть из 6 спичек можно составить 2 однозначных числа. Наименьшее число спичек – 2 спички – имеет число 1. Количество 6 – 2 = 4 спичек имеет только цифра 4. Поэтому можно составить двузначные числа 14 и 41. Из 3 спичек состоит цифра 7. Это даёт ещё одно двузначное число – 77. Единственным трёхзначным числом из 6 спичек является число 111. Других чисел из 6 спичек составить нельзя. Таким образом, всего существует 6 чисел, которые можно составить из 6 спичек.

Пусть r – радиус полуокружностей. Подсчитаем двумя способами расстояние между крайними точками отрезка, на котором расположены диаметры данных полуокружностей. Получим уравнение

2r + 12 + 2r + 12 + 2r = 22 + 2r + 16 + 2r +22, или

6r + 24 = 4r + 60, или

2r = 36, откуда

r = 18.

Существует 6 способов выбора двух вершин квадрата. Это либо 2 вершины на одной стороне квадрата, либо 2 вершины на одной диагонали. Каждый раз по обе стороны как от диагонали квадрата, так и от стороны квадрата, на их серединных перпендикулярах находится по одной точке, удалённой от концов данных отрезков на расстоянии 1 см. Получаем 6 · 2 = 12 искомых точек. Среди них нет совпадающих (см. рис.).

Поскольку треугольник ABC равнобедренный и угол при вершине В равен 40°, то углы при основании

∠ BCA = ∠ CAB = (180 − 40) : 2 = 70°.

Пусть ∠ EAB = ∠ DCA = α. Тогда в ΔFAC внешний угол

∠ EFC = ∠ FAC + ∠ FСA = (70° − α) + α = 70°.

По условию, левая нижняя и правая верхняя вершины серого прямоугольника являются серединами соответствующих сторон белого прямоугольника. Поэтому, отразив все четыре прямоугольных треугольника (части белого прямоугольника, не покрытые серым прямоугольником) относительно их гипотенуз, мы получим фигуру, в точности совпадающую с серым прямоугольником (см. рис.).

Следовательно, площадь белого прямоугольника в 2 раза больше площади серого прямоугольника и, значит, она равна

2 · (3 · 25) = 150 см².

Ясно, что двух дополнительных лучей недостаточно. Действительно, из 4 лучей можно составить только 6 различных пар и, значит, можно получить не более 6 различных углов. Пример на рисунке показывает, что трёх лучей достаточно.

Понятно, что среди данных последовательных чисел есть отрицательные, иначе их сумма была бы заведомо больше 2023. Рассмотрим 2023 последовательных числа от –1011 до 1011. Их сумма равна 0. Сдвинем ряд этих чисел вправо, т.е. увеличим все числа на 1. Получим ряд чисел от –1010 до 1012. Легко видеть, что их сумма равна 1011 + 1012 = 2023. Следовательно, этот ряд чисел и есть тот, о котором говорится в условии задачи. Наибольшее число в этом ряду – число 1012. Сумма его цифр равна

1 + 0 + 1 + 2 = 4.

По условию, 3 кенгуру (К) стоят между двумя бобрами (B). Поэтому часть круга – это последовательность BKKKB. Так как никакие два бобра не стоят рядом и есть ещё один (третий) бобёр, то должно быть ещё по крайне мере два кенгуру: KBKKKBK. Видим, что число кенгуру не меньше 5. С другой стороны, если замкнуть круг, поставив бобра между крайними кенгуру в полученной последовательности, то все условия будут выполнены. Следовательно, правильным является ответ 5.

Пусть n человек стоят впереди Миши и n – позади. Тогда всего в очереди стоят 2n + 1 человек. По условию, n + 1 < 19, откуда n < 18. Кроме того, согласно условию, 2n + 1 ≥ 28, откуда n ≥ 13,5. Поэтому n может принимать только значения 14, 15, 16 или 17. Кроме того, по условию, 2n + 1 кратно 3. Тогда n = 16. Поэтому место в очереди, на котором находится Миша, равно n + 1 = 17.

Построим граф, который показывает, сколько и каких партий сыграли гномы в понедельник. Гномов изобразим в виде вершин с соответствующими номерами. Так как шестой гном сыграл 6 партий, то это значит, что он сыграл со всеми остальными гномами. Соединим вершину 6 рёбрами со всеми остальными вершинами (см. рис.1).

Видим, что та единственная партия, которую сыграл первый гном, была сыграна с шестым гномом. Поэтому пятый гном не играл с первым. Следовательно, все его партии были сыграны с другими пятью гномами (всеми, кроме первого). Проведём соответствующие рёбра, которые ещё не построены (см. рис.2). Далее, все партии первого и второго гномов уже определены. Поэтому два недостающих ребра, указывающих партии четвёртого гнома, – это рёбра к 3-й и 7-й вершинам. Дорисовав соответствующие 2 ребра, получим граф, описывающий все партии, сыгранные в понедельник (см. рис.3). На графе видим, что седьмой гном сыграл 3 партии.

Заметим, что у чисел 8 и 9 не может быть больше одного соседнего числа и этим соседним числом может быть только число 1. Поэтому числа 1, 8 и 9 должны располагаться в областях 1, 8 и 9 на рисунке. При этом число 1, однозначно, должно быть в центре, 8 и 9 можно поменять местами.

То есть имеется 2 способа расположения этих трёх чисел. Далее, числа 7 и 6 могут быть соседними только с числом 2. Есть 4 способа, как их расположить (число 2 в одном из треугольников, а числа 7 и 6 – двумя способами в соседних квадратах). Наконец, видим, что числа 5 и 4 могут быть соседними только с числом 3. Число 3, однозначно, располагается в треугольнике, не занятом числом 2. Числа 5 и 4 могут двумя способами расположиться в соседних квадратах. Таким образом, существует

2 · 4 · 2 = 16 способов разместить числа от 1 до 9 так, чтобы выполнялись условия задачи.

Пусть сторона треугольника равна а см, тогда его периметр равен 3а см. Согласно условию, время обхода всего периметра треугольника равно

мин.

Тогда средняя скорость обхода равна

см/мин.

Первое решение.

В верхнем и левом домах было 8 + 7 = 15 мышей. Все они перешли в другие дома. Некоторые из них поменялись домами, другие перешли в третий (правый) дом. На втором рисунке мы видим, что в этот третий дом пришли 4 мыши. Это значит, что остальные, а именно 15 – 4 = 11 мышей, поменялись домами, т.е. прошли по указанному пути.

Второе решение.

Пусть x мышей перешло из верхнего дома в левый и y мышей перешло из левого дома в верхний. Нужно найти значение x + y. Согласно условию, 8 – x и 7 – y мышей перешли в третий домик (правый нижний). Далее, по условию,

(8 – x) + (7 – y) = 4, т.е.

15 – (x + y) = 4, откуда

(x + y) = 11.

Первое решение.

Поскольку цифра единиц в сумме, полученной после сложения чисел, составленных из цифр 7, равна 3, то таких слагаемых 9 (7 · 9 = 63). Если больше, то их должно быть 19, т.е. все слагаемые однозначные. Но их сумма

7 · 19 ≠ 2023.

Далее, так как 7 · 9 = 63, из разряда единиц в разряд десятков будет перенесена цифра 6. Чтобы при суммировании цифра десятков стала равна 2, необходимо 8 семёрок в разряде десятков (7 · 8 = 56).

Так как 8 · 70 + 9 · 7 = 623, то число семёрок в разряде сотен равно

(2023 – 623) : (7 · 100) = 1400 : 700 = 2.

Итак, в искомой сумме имеется 2 трёхзначных числа, 9 – 8 = 1 однозначное число и, значит, 9 – 2 – 1 = 6 двузначных чисел.

Второе решение.

Ясно, что все слагаемые нужной суммы не более чем трёхзначные. Трёхзначных слагаемых меньше 3, поскольку

3 · 777 = 2331 > 2023.

Кроме того, одного слагаемого 777 недостаточно, так как

(2023 – 777) : 77 > 16.

Но в таком случае число цифр 7 будет заведомо больше 19, что противоречит условию задачи. Итак, в данной сумме два слагаемых 777. Тогда сумма двузначных и однозначных слагаемых равна

2023 – 2 · 777 = 469.

Кроме того, количество цифр 7 в этих числах равно

19 – 2 · 3 = 13.

Это значит, что слагаемых 77 не более шести. И это количество подходит, так как

77 · 6 + 7 = 469.

Если же количество слагаемых 77 меньше шести, то и сумма двузначных и однозначных слагаемых будет меньше 469. Поэтому правильным является ответ 6.

Штриховая линия на рисунке является линией симметрии данного шестиугольника. Видим, что окрашенные и неокрашенные четырёхугольники соответственно равны. Поэтому, если площадь большого шестиугольника равна S, а площадь меньшего шестиугольника равна s, то площадь окрашенной части равна

(S – s) : 2.

Согласно условию задачи,

,

откуда 3S – 3s = 8s,

или 3S = 11s,

откуда s : S = 3 : 11.

Если среди последовательных шести чисел есть числа 6, 7, 8, то есть только четыре возможности:

1) этими числами являются числа от 3 до 8;
2) числа от 4 до 9;
3) числа от 5 до 10;
4) числа от 6 до 11.

Сумму 24 не дают никакие три числа в случае 1), так как в этом случае наибольшая сумма трёх чисел равна

6 + 7 + 8 = 21 < 24.

Сумму 17 не дают никакие три числа в случае 3), так как в этом случае наименьшая сумма трёх чисел равна

5 + 6 + 7 = 18 > 17.

В случае 4) все числа больше, чем в 3), и, значит, сумму 17 также нельзя получить.

Поэтому числами, которые записал Женя, могут быть только числа от 4 до 9. Следовательно, сумма чисел, не выпавших после первого броска, равна

4 + 5 + 9 = 18.

Среднее значение в седьмой, восьмой и девятой играх равно

(24 + 17 + 25) : 3 = 66 : 3 = 22.

Тогда из условия следует, что среднее значение после первых 6 игр было меньше 22. То есть за первые 6 игр команда могла набрать не более

22 · 6 – 1 = 131 очка.

После 10 игр среднее значение должно быть больше 22. Поэтому всего за 10 матчей команда должна набрать не менее

10 · 22 + 1 = 221 очка.

Тогда наименьшее число очков, которое могло быть набрано в последнем матче, равно

221 – 131 – 66 = 24.

Это значение достигается. Например, если в играх от первой до десятой были набраны соответственно очки 21, 22, 22, 22, 22, 22, 24, 17, 25, 24, то среднее значение числа очков за первые 6 игр равно

(21 + 22 · 5 ) : 6 = 131 : 6 = 21,8(3).

Среднее значение за первые 9 игр равно

(131 + 24 + 17 + 25) : 9 = 197 : 9 = 21,8(8),

а среднее значение после всех 10 игр равно

(197 + 24) : 10 = 22,1.

Видим, что все условия задачи выполняются. Поэтому правильным является ответ 24.