Показания на диаграмме в условии задачи можно представить как {3; 2; 2; 1}. Показания в вариантах ответа:

А) {3; 1; 1; 1},

Б) {2; 2; 1,5; 0,5},

В) {2; 1,5; 1; 1},

Г) {3; 2; 1; 0,5},

Д) {3; 2; 2; 0,5}.

Здесь подчёркнуты уменьшенные в 2 раза значения, остальные – равны каким-то исходным. Видим, что в ответе Д уменьшилось не два, а только одно число. Поэтому правильным является ответ Д.

Данные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 13. Наименьшим трёхзначным числом является число 100. Но 100 = 13 · 7 + 9 на 13 не делится. Тогда первый член этой прогрессии a₁ = 13 · 8 = 104. По формуле общего члена арифметической прогрессии, a_n = 104 + 13(n – 1). Тогда искомое количество чисел – это наибольшее натуральное значение n, для которого выполняется неравенство a_n < 1000, т.е.

104 + 13(n – 1) < 1000,

или 13n < 909, откуда n < . Поэтому правильным является ответ 69.

Построим схему, на которой укажем стрелками, кто, в соответствии с условием задачи, старше. Видим, что одного возраста могут быть только Тедди и Лили.

Так как 15 есть произведение простых чисел 3 и 5, то в записи данного числа должна быть одна цифра 3 и одна цифра 5. Поскольку это число 10-значное, то ещё оно должно иметь восемь цифр 1. Сумма цифр такого числа равна 3 + 5 + 8 · 1 = 16.

Дуги пересекающихся окружностей одинакового радиуса, заключённые внутри этих окружностей, имеют одинаковую длину (см. рис.). Поэтому периметр окрашенной фигуры равен длине одной такой окружности, т.е. равен 2π.

Выпишем в порядке возрастания числа, о которых идёт речь:

2, 20, 22, 200, 202, 220, 222, 2000, 2002, 2020, 2022.

Всего их одиннадцать, и средним является число 220.

Каждое слагаемое в уравнении неотрицательно и, значит, должно быть равно 0. Поэтому уравнение равносильно системе

,

которая решений не имеет. Таким образом, число корней данного уравнения равно 0.

Примем сторону клетки за 1. Тогда длина окружности в центре равна 2π.

Далее, длины рассматриваемых дуг, учитывая, какую часть окружности они составляют, и учитывая радиусы соответствующих окружностей, равны:

А) 2π · 2 · 3/8 = 3π/2

Б) 2π · 3 · 1/4 = 3π/2

В) 2π · 3 · 1/8 = 3π/4

Г) 2π · 4 · 1/4 = 2π

Д) 2π · 4 · 3/8 = 3π

Видим, что правильным является ответ Г) D.

Поскольку чётные степени ненулевых чисел положительны, совпадение знаков у чисел -2a⁴b³c² и 3a³b⁵c^-4 равносильно совпадению знаков у чисел -b и ab. А это возможно только при условии a < 0.

По-другому получить правильный ответ можно так. Заметим, что два ненулевых числа имеют один и тот же знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно. Поэтому условие задачи равносильно неравенству: –2a⁴b³c² · 3a³b⁵c^-4 > 0, или -6a⁷b⁸c^-2 > 0, откуда a < 0.

Пусть BC = x см. Тогда, согласно условию, AC = 12 – x см и CD = 18 – x см. В результате, расстояние между серединами отрезков AB и CD равно

(12-х)/2 + х + (18-х)/2 = 6 + 9 = 15 см.

Увеличение только последних трёх цифр (как по отдельности, так и в совокупности) приводит к числу с совпадающими цифрами. Поэтому, чтобы получить число с различными цифрами, необходимо изменить вторую слева цифру 1. Наименьшее число с различными цифрами, которое больше данного числа на счётчике, – это число 92,013. Оно появится на счётчике после того, как будет израсходовано

92,013 – 91,876 = 0,137 м³ воды.

Пусть сторона исходного квадрата равна а. Заметим, что сумма длины стороны одного из полученных при разбиении квадратов и стороны другого квадрата равна стороне исходного квадрата, т.е. равна а. Тогда длины диагоналей окрашенного четырёхугольника равны половине суммы длин сторон полученных квадратов, т.е. равны a/2. Так как эти диагонали перпендикулярны, площадь окрашенного четырёхугольника можно вычислить по формуле

Согласно условию, a²/8 = 3, откуда площадь исходного квадрата a² = 24. Тогда площадь неокрашенной части квадрата равна 24 – 3 = 21.

По-другому получить правильный ответ можно так. Проведём через вершины окрашенного четырёхугольника отрезки, параллельные сторонам исходного квадрата, как показано на рисунке.

В результате, каждый из меньших квадратов и каждый из двух полученных прямоугольников разбивается на 4 равные части. Только половина от каждой из группы таких частей принадлежит окрашенному четырёхугольнику. Поэтому площадь этого четырёхугольника составляет 1/2 · 1/4 = 1/8 от площади данного квадрата, а неокрашенная часть – 7/8, т.е. в 7 раз больше. Следовательно, площадь неокрашенной части исходного квадрата равна 7 · 3 = 21.

Имеем:

2²⁰²¹ + 2²⁰²² = 2²⁰²¹ · 3

и

3²⁰²¹ + 3²⁰²² = 3²⁰²¹ · 4

Поэтому наибольший общий делитель данных двух чисел равен 3 · 4 = 12.

Каждый из данных городов соединён дорогами не более чем с 4 другими городами. Поэтому если построить не более трёх электростанций, то энергией будут обеспечены не более 3 + 3 · 4 = 15 городов, что недостаточно. Поэтому понадобится не менее 4 электростанций.

С другой стороны, если 4 электростанции построить в городах, обозначенных на следующем рисунке чёрным цветом, то все условия задачи будут выполнены.

Рассмотрим фигуры в варианте ответа А). Они одинаковы. Возьмём одну из них и повернём в горизонтальной плоскости (вокруг вертикали) так, как показано на рисунке. Затем повернём её в вертикальной плоскости (вокруг горизонтали).

Теперь, если сложить две данные фигуры в двух полученных ракурсах так, как показано на втором рисунке, то видно, что получится фигура, указанная в условии задачи. Следовательно, правильным является ответ А.

Хотя правильный ответ уже найден, можно убедиться, что из фигур в других вариантах ответа нельзя сложить фигуру, указанную в условии задачи.

Марта не пройдёт в финал, если она встретится в матче с Эллой в первом туре, либо если она встретится с ней во втором туре. Эти события несовместные. Поэтому искомая вероятность равна сумме вероятностей встречи Марты с Эллой в первом туре и встречи Марты с Эллой во втором туре. В первом туре Марта может встретиться с любой из других 7 соперниц. Элла – одна из них. Поэтому вероятность встречи с Эллой равна 1/7. Вероятность пройти Марты во второй тур равна 1 – 1/7 = 6/7. При этом Элла во втором туре будет одной из трёх её соперниц. Поэтому вероятность встречи Марты с Эллой во втором туре равна (6/7) · (1/3) = 2/7. В результате, вероятность того, что Марта не пройдёт в финал, равна 1/7 + 2/7 = 3/7.

Пусть площади различных граней данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда

S = 2(a + b + c).

Заметим, что один разрез параллелепипеда, параллельный грани площадью а, увеличивает общую поверхность получаемых частей на 2a (см. рис.), соответственно, два разреза – на 4a. Аналогичные изменения происходят и при разрезах, параллельных другим граням. Поэтому после всех указанных разрезов общая поверхность всех полученных частей будет равна

6(a + b + c) = 3S.

Из условия задачи следует, что сумма данных пяти чисел равна 24 · 5 = 120, сумма трёх наименьших из них равна 19 · 3 = 57, а сумма трёх наибольших равна 28 · 3 = 84. Среднее по величине число входит как слагаемое и в меньшую тройку, и в большую. Поэтому, если сложить сумму трёх наименьших чисел и сумму трёх наибольших, то мы получим сумму всех пяти чисел плюс среднее число. Следовательно, это число равно

57 + 84 – 120 = 21.

Пусть h – искомая высота треугольника ABC (см. рис.). Из условия задачи следует, что треугольники AKL и AMN подобны. Вследствие их подобия имеем (h - 2)/3 = (h - 1)/5, откуда 5(h – 2) = 3(h – 1), или 5h – 10 = 3h – 3, или 2h = 7, т.е. h = 3,5.

На рисунке в условии задачи видно, что по высоте исходного прямоугольника помещается 9 прямоугольников с основанием 1. Они подобны исходному прямоугольнику (с той же ориентацией). Поэтому основание исходного прямоугольника равно 9, и тогда основания левого и правого больших прямоугольников равны (9 - 1)/2 = 4.

Пусть высота исходного прямоугольника (а значит, и высота двух боковых прямоугольников) равна h. Из подобия получаем пропорцию 9/h = h/4, откуда h² = 36 и, значит, h = 6. В результате, периметр исходного прямоугольника равен 2(9 + 6) = 30.

Данная окружность имеет уравнение x² + y² = 5².

Все возможные значения переменных, удовлетворяющие условию задачи, находятся в пределах от –5 до 5. Рассмотрим все целые значения x в этих пределах.

При x = 0 получаем два значения y = ±5. Это даёт две точки с целыми координатами: (0; ±5).

При x = ±1 получаем

– не целые значения.

При x = ±2 получаем

– также не целые значения.

При x = ±3 получаем

– целые значения. Это даёт четыре целые точки: (±3; ±4) (с любыми комбинациями знаков).

При x = ±4 получаем

– целые значения. Это даёт ещё четыре целые точки: (±4; ±3).

Наконец, при x = ±5 получаем

– целое значение. Это даёт две целые точки: (±5; 0).

Таким образом, всего на данной окружности находится 2 + 4 + 4 + 2 = 12 точек с целыми координатами.

Пусть искомое число равно 100a + 10b + c (a, b, c – его цифры). Тогда, согласно условию,

100a + 10b + c = 5abc.

Из полученного равенства следует, что с делится на 5. При этом с ≠ 0, иначе правая часть уравнения равна 0, а значит, искомое число тоже 0, противоречие. Следовательно, с = 5. Тогда, сократив на 5, получим:

20a + 2b + 1 = 5ab.

Левая часть последнего неравенства – нечётное число. Значит, и правая часть – нечётное число. Поэтому обе цифры a и b тоже нечётные. Кроме того, из равенства следует, что 2b + 1 делится на 5. Тогда единственное возможное значение b = 7. Подставив его в уравнение выше, получим 20a + 15 = 35a, откуда a = 1. Таким образом, только число 175 удовлетворяет условию задачи. Тем самым, правильным является ответ 1.

Согласно условию задачи, сумма чисел в столбцах и нижней строчке равна 24 + 24 + 25 = 73. В эту сумму входят все данные числа, кроме искомого числа. При этом два числа (нижние в столбцах) входят в эту сумму дважды. Оценим наибольшее возможное значение такой суммы. Оно равно

10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 73.

Следовательно, условия задачи могут быть выполнены, только если искомым является число 1. Тем самым, правильным является ответ Д.

Хотя это не обязательно для решения, приведём пример, показывающий, что описанная в условии ситуация возможна (см. рис.).

Вершины данного квадрата переходят в вершины квадрата со стороной 0,5:

(1; 1) → (1; 1),   (1; 2) → (1; 0,5),   (2; 2) → (0,5; 0,5),   (2; 1) → (0,5; 1).

Видим, что ответы Б, Г и Д не являются верными.

Далее, на каждой из сторон данного квадрата одна из координат точек принимает фиксированное значение. Поэтому и у полученного образа имеет место такое же свойство, т.е. граница образа состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков. Следовательно, образ – это квадрат и, значит, правильным является ответ В.

Заметим, что числа 1 и 20 (разность между ними наибольшая) должны находиться в противоположных вершинах. Действительно, предположим, что это не так. Тогда из двух путей, которые состоят из сторон данного 20-угольника и ведут от вершины с номером 1 до вершины с номером 20, один будет состоять не более чем из 9 отрезков. Однако переход по отрезку от одной вершины к соседней, по условию, увеличивает номер вершины не более чем на 2. Поэтому на концах такого пути не могут стоять числа, разница между которыми больше 9 · 2 = 18.

Итак, числа 1 и 20 должны быть номерами противоположных вершин. При этом, чтобы условия задачи были выполнены, на каждом из двух путей, ведущем от числа 1 к числу 20, должно быть 9 отрезков, на которых номер увеличивается на 2, и 1 отрезок, на котором номер увеличивается на 1. Такая нумерация возможна. Для этого на одном из рассматриваемых путей должны быть все чётные номера, а на другом – все нечётные (см. рис.). Таким образом, могло быть только 2 красные стороны.

Решим задачу в общем виде. Пусть отрезки, длины которых указаны в условии задачи, и отрезок, который нужно найти, – это a, b, c, d, e и f.

Докажем, что справедливо равенство:

a + e + c = d + b + f.      (*)

Для этого проведём серединный перпендикуляр к хорде BС. Он пройдёт через центр окружности и будет также перпендикуляром к хорде HJ, а значит, будет серединным перпендикуляром и для этой хорды. Такой же перпендикуляр проведём и для хорд другой окружности. Обозначим половины хорд так, как показано на рисунке.

Построенные перпендикуляры разбивают данный прямоугольник на три меньших прямоугольника. А поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, справедливы равенства:

a + x = d + y,

y + e + w = x + b + z,

z + c = w + f.

Сложив эти три равенства, получим:

a + x + y + e + w + z + c = d + y + x + b + z + w + f.

Удалив слева и справа одинаковые слагаемые, получаем равенство (*). При числовых данных в условии задачи, согласно доказанному равенству, имеем: 8 + 24 + 22 = 12 + 26 + x, откуда x = 16.

Заметим, что

и

Поэтому натуральными на указанном промежутке являются числа от N + 1 до 3N включительно. Количество таких чисел равно 2N.

Будем вести расчёты с конца, начав с a₇ = 2. Из условия задачи следует, что

a_2n – a_{2n + 1} = 3.

Тогда a₆ = a₇ + 3 = 2 + 3 = 5.

Далее, так как

a₆ = a₂a₃ + 1, то

a₂a₃ = 5 – 1 = 4. Кроме того,

a₂ – a₃ = (a₂a₁ + 1) – (a₂a₁ – 1) = 3,

откуда a₃ = a₂ – 3. Тогда получаем уравнение

a₂ (a₂ – 3) = 4,

или a₂² – 3a₂ – 4 = 0. Оно имеет два корня: 4 и –1.

Но если a₂ = –1, то из a₂ = a₂a₁ + 1 получим -1 = -a₁ + 1, откуда a₁ = 2. Получаем противоречие с условием 0 < a₁ < 1.

Если же a₂ = 4, то аналогично из равенства a₂ = a₂a₁ + 1 находим a₁ = 3/4. Тем самым, все условия выполнены и, значит, правильным является ответ 4.

Пусть сторона шестиугольника в основании данной призмы равна а, а высота призмы равна h. Правильный шестиугольник со стороной а состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной а. Площадь одного такого треугольника равна .

Тогда площадь основания данной призмы равна ,

а объём .

Теперь найдём объём вырезанных частей. Они представляют собой 6 одинаковых пирамид высотой h. Основаниями таких пирамид являются равнобедренные треугольники с боковыми сторонами a/2 и углом 120° между ними (эти углы – углы шестиугольника в основании призмы; см. рис.).

Площадь такого треугольника равна .

Тогда объём одной вырезанной пирамиды равен ,

а объём всех шести вырезанных частей равен .

Это составляет часть от объёма призмы.

По-другому решить задачу можно так. Разобьём правильный шестиугольник в основании данной призмы на равнобедренные треугольники так, как показано на следующем рисунке.

Всего таких треугольников 24, все они одинаковые и имеют такие размеры, как на верхнем рисунке. Шесть окрашенных треугольников оказались вырезаны из верхней грани, что составляет 6/24 = 1/4 часть от её площади. Поскольку были вырезаны пирамиды, а объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой, то объём вырезанных частей составляет 1/3 · 1/4 = 1/12 часть объёма данной призмы.

Пусть на зрительской площадке стадиона r рядов и в каждом ряду m мест. Тогда всего на стадионе rm мест.

С другой стороны, согласно условию, на стадионе 11r + 14m + 17 мест. Получаем уравнение:

rm = 11r + 14m + 17 ⇔

⇔ rm – 11r – 14m + 14 · 11 = 14 · 11 + 17 ⇔

⇔ r(m – 11) – 14(m – 11) = 171 ⇔

⇔ (r – 14)(m – 11) = 3² · 19.

Тогда пара (r – 14; m – 11) может принимать следующие значения:

(1; 171), (3; 57), (9; 19), (19; 9), (57; 3), (171; 1).

Вследствие этого пара (r; m) может принимать соответственно следующие значения

(15; 182), (17; 68), (23; 30), (33; 20), (71; 14), (185; 12).

В результате, число мест на стадионе, равное rm, может принимать значения 15 · 182 = 2730, 17 · 68 = 1156, 23 · 30 = 690, 33 · 20 = 660, 71 · 14 = 994, 185 · 12 = 2220.

Видим, что наименьшее возможное количество мест на стадионе равно 660.