Двигаясь вдоль указанного пути, отметим стрелками направления поворота вокруг буёв.

Видим, что по ходу часовой стрелки лодка огибала буи 2, 3 и 5.

Чтобы число из некоторого набора цифр было наименьшим, необходимо, чтобы на старшие разряды приходились как можно меньшие цифры, т.е. цифры (слева направо) должны располагаться в порядке неубывания. Но в данном случае не на всех карточках изображены цифры. На трёх карточках записаны многозначные числа. Цифры на них нельзя поменять местами, тем более использовать отдельно. Поэтому, чтобы составить из карточек наименьшее число, нужно расположить карточки в порядке неубывания первых цифр на этих карточках. (В случае совпадения первых цифр такое же правило следует применить для вторых цифр и т.д. Но у нас таких совпадений нет.) Поэтому последней должна быть карточка с наибольшей первой цифрой, т.е. карточка

Хотя правильный ответ уже найден, укажем расположение всех карточек, дающее наименьшее число:

После каждой серии повторяющихся прыжков кенгуру перемещается на 9 единиц вперёд (см. рисунок). Поэтому после 9 таких серий он окажется на позиции 9 · 9 = 81, после чего начнётся новая серия с двух длинных прыжков. После первого из них кенгуру окажется на позиции 81 + 3 = 84, а после второго – на позиции 84 + 3 = 87. Видим, что из приведённых вариантов ответа только на число 84 приходится один из прыжков кенгуру.

Ниже показано, как выглядят перевёрнутые номера.

A)

Б)

В)

Г)

Д)

Видим, что только в варианте Б прочтение номера после переворачивания не меняется.

По условию задачи, высота кирпича равна 4 см. Куб состоит из 6 слоёв такой высоты (см. рисунок). Следовательно, длина ребра куба равна 6 · 4 = 24 см. Такое ребро «образуют» 3 кирпича по его ширине или 2 кирпича по его длине. Поэтому ширина кирпича равна 24 : 3 = 8 см, а длина – 24 : 2 = 12 см. Таким образом, размеры кирпича (в см): 4 × 8 × 12.

На рисунке в условии задачи видно, что если двигаться вдоль гусеницы, то чёрные и белые кружочки чередуются. Если в варианте ответа можно построить непрерывный путь, проходящий через центры кружочков, вдоль которого цвета кружочков также чередуются, то в свёрнутом виде гусеница может выглядеть так, как указано в данном ответе. Если же такого пути не существует, то не может. В варианте ответа А такой путь существует.

Можно убедиться, что в других вариантах ответа такие пути построить нельзя.

Если поставить все знаки «+», то получим сумму

6 + 9 + + 12 + 15 + 18 + 21 = 81.

Поэтому нужно поменять один знак «+» на знак «–» так, чтобы сумма уменьшилась на 81 – 45 = 36. Заметим, что если просто в сумме убрать какое-то слагаемое, то и сумма уменьшится на значение, равное этому слагаемому. Если же оставить данное слагаемое, но заменить знак «+» на «–», то сумма уменьшится на величину, в два раза большую этого слагаемого. Поэтому, чтобы получить нужное равенство, нужно поставить знак «–» перед числом 36 : 2 = 18. Действительно, равенство

6 + 9 + 12 + 15 – 18 + 21 = 45

является верным.

Рассмотрим путь 1. Если идти по нему в указанном направлении, то слева мы насчитаем 2 дерева, а справа – 3. Поэтому дерево следует посадить слева по этому пути, т.е. в части А или В.

Если идти по пути 2 в указанном направлении, то также слева будет 2 дерева, а справа – 3. Поэтому дерево следует посадить слева по этому пути, т.е. в части В, С или Е. Видим, что оба эти условия будут выполнены, если дерево посадить в части В.

Можно убедиться, что тогда и для пути 3 с обеих сторон будет по 3 дерева.

Нечётными цифрами являются цифры 1, 3, 5, 7 и 9. Всего их пять. Но чтобы получилось нечётное число от 100 до 300, первой должна быть цифра 1. Второй и третьей может быть любая из пяти нечётных цифр. Поэтому общее количество таких чисел равно 1 · 5 · 5 = 25.

Так как второе число заканчивается цифрой 2, то его квадрат заканчивается цифрой 4. Тогда квадрат первого числа должен заканчиваться цифрой 9 – 4 = 5. А отсюда следует, что и само первое число должно заканчиваться цифрой 5.

Покажем, что описанная в условии ситуация действительно возможна (для решения задачи это не обязательно):

2385² + 1202² = 7133029.

Стопка из 8 стаканов имеет высоту 42 см, а стопка из 2 стаканов – высоту 18 см. Это значит, что при увеличении стопки на 8 – 2 = 6 стаканов её высота увеличивается на 42 – 18 = 24 см. Следовательно, при увеличении стопки на 1 стакан высота увеличивается на 24 : 6 = 4 см.

Получаем, если стопку из 8 стаканов уменьшить на 1 стакан, её высота станет равна 42 – 4 = 38 см. Такая стопка не помещается в шкаф, так как расстояние между полками меньше. Если же убрать ещё 1 стакан, то получим стопку из 6 стаканов, высота которой будет равна 38 – 4 = 34 см. Такая стопка помещается в шкаф. Таким образом, правильным является ответ 6.

Количество точек на всех шести гранях каждого стандартного кубика равно

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Тогда количество точек на всех гранях четырёх кубиков равно 21 · 4 = 84. Ясно, что количество точек на поверхности фигуры, склеенной из этих кубиков, будет наименьшим, если количество точек на склеенных гранях будет наибольшим. У двух средних кубиков склеены по две противоположные грани. По условию, независимо от того, какие это грани, количество точек на них равно 7 + 7 = 14. Наибольшее количество точек на склеенных гранях каждого из крайних кубиков равно 6. Поэтому наибольшее количество точек на всех склеенных гранях равно 14 + 6 + 6 = 26. Следовательно, наименьшее количество точек на поверхности данной фигуры равно 84 – 26 = 58.

Определим возрасты всех трёх сестёр. Если средний возраст трёх сестёр равен 10 лет, то им вместе 10 · 3 = 30 лет.

Так как средний возраст первой пары равен 11 годам, то вместе двум сёстрам этой пары 11 · 2 = 22 года. Тогда сестре, которая не вошла в эту пару, 30 – 22 = 8 лет.

Аналогично, так как средний возраст второй пары равен 12 годам, то вместе двум сёстрам этой пары 12 · 2 = 24 года. Тогда сестре, которая не вошла в эту пару, 30 – 24 = 6 лет.

Наконец, возраст третьей сестры равен 30 – 8 – 6 = 16 лет. Видим, что она самая старшая, и в результате правильным является ответ 16.

Легко видеть, что две части клумбы, на которых растут ромашки, одинаковые и их общая точка – это центр данного квадрата. Поэтому перпендикуляры, опущенные из этой точки на стороны данного квадрата, разбивают его на 4 квадрата со стороной 6 м.

Площадь одного такого квадрата равна 36 м². Тот квадрат, который содержит участок с ромашками, состоит ещё из прямоугольных треугольников с катетами 6 и 2. Их суммарная площадь равна 12 м². Поэтому площадь одного участка с ромашками равна 36 – 12 = 24 м². А тогда площадь двух частей клумбы, на которых посажены ромашки, равна 2 · 24 = 48 м².

Так как одни часы каждый час спешат на 1 минуту, а другие отстают на 2 минуты, то каждый час разница в показаниях часов увеличивается на 1 + 2 = 3 минуты. Поэтому, если разница в показаниях за какое-то время оказалась равна 1 час, т.е. 60 минут, то с момента установки правильного времени прошло 60 : 3 = 20 часов. За это время часы, которые спешат, ушли вперёд на 20 мин. Поэтому точное время на данный момент: 12:00 – 0:20 = 11:40. Понятно, что 24 часа назад точное время было таким же. А тогда 20 часов назад (в момент установки часов), т.е. через 24 – 20 = 4 часа после этого, время было 11:40 + 4:00 = 15:40.

Сумма всех чисел, записанных Ваней и Ритой, равна 22 + 34 = 56. В то же время, если рассмотреть пару чисел (число Вани a и число 7 – a, которое записала вместо него Рита), то видим, что сумма чисел такой пары равна a + (7 – a) = 7. Все числа Вани и Риты разбиваются на такие пары. Поэтому количество пар равно 56 : 7 = 8. Следовательно, Ваня записал 8 чисел.

Начнём с того, что имеется ровно два произведения (30 и 105), которые делятся на 5. Поэтому на пересечении соответствующих этим произведениям прямых должно быть записано число 5. В свою очередь, только произведения 105 и 28 делятся на 7. Поэтому на пересечении соответствующих прямых должно быть число 7. Тогда произведение 105 дают числа 5, 3, 7 (сверху вниз в указанном порядке).

Далее, произведение 28 делится на 4. Поэтому на соответствующей прямой, помимо числа 7, должны быть числа 1 и 4 (по условию, среди данных чисел только одно число 2). Так как произведение 30 не делится на 4, то произведение 28 дают числа 1, 4, 7 (в указанном порядке сверху вниз).

Теперь, так как крайние числа в верхнем ряду – это 1 и 5, между ними должно быть число 30 : (1 · 5) = 6.

Наконец, два крайних числа в нижнем ряду – это 48 : (6 · 4) = 2 и 144 : (6 · 3) = 8. Таким образом, сумма трёх чисел в нижнем ряду равна 2 + 7 + 8 = 17.

Примем площадь объединения за 100 (квадратных единиц). Тогда, согласно условию, площадь пересечения равна 45, а площадь части треугольника вне круга равна 40.

Поэтому площадь круга вне треугольника равна 100 – 45 – 40 = 15, а площадь всего круга равна 45 + 15 = 60. В результате, часть круга вне треугольника составляет 15/60 · 100% = 25%.

Существует 3 способа покрыть ромбиком треугольник А.

В первом случае дальнейшее замощение продолжается однозначно. Во втором и третьем случае существует 4 способа продолжения замощения. Действительно, имеется две возможности покрыть треугольник В и при каждой из них – две возможности покрыть треугольник С. Таким образом, существует 1 + 4 + 4 = 9 способов замощения данной фигуры указанными ромбиками.

Примем весь путь до школы и обратно за 1. Пусть x – часть пути, которую Марк ехал на велосипеде. Тогда (1 – x) – часть пути, которую он шёл пешком. Поэтому время на весь путь смешанным способом можно представить в виде

20x + 60(1 – x).

Согласно условию, получаем уравнение

20x + 60(1 – x) = 52.

Упрощая уравнение, получаем: 60 – 40x = 52, или 40x = 8, откуда x = 1/5.

Рассмотрим два верхних квадрата 2 × 2. Две клетки в среднем столбце у этих квадратов общие. Поэтому суммы чисел в этих квадратах будут одинаковыми, если 2 + a = 4 + b, откуда a = b + 2. Теперь рассмотрим два нижних квадрата 2 × 2. Точно так же суммы чисел в них будут равны, если ? + a = b + 3, т.е. если ? + (b + 2) = b + 3, откуда ? = 1.

По-другому правильный ответ можно найти так. По условию, суммы чисел во всех квадратах 2 × 2 должны быть равны. Тогда

(2 + c + a + e) + (e + b + d + 3) = (c + 4 + e + b) + (a + e + ? + d).

Взаимно уничтожая одинаковые слагаемые в обеих частях данного равенства, получим 2 + 3 = 4 + ?, откуда ? = 1.

Рассмотрим сначала деревни B, C и D. Есть две возможности: либо деревня B расположена между C и D (см. рис. 1а), либо нет (см. рис. 1б). Во втором случае расстояние между C и D равно 45 – 20 = 25 км.

Теперь рассмотрим местоположение деревни А.

В каждом из рассмотренных случаев есть две возможности: либо она расположена (по условию, на расстоянии 75 км) слева от С, либо – справа (см. рис. 2а, 2б, 3а, 3б). Таким образом, расстояние между A и D может принимать, соответственно, следующие значения: 140 км, 10 км, 100 км и 50 км. Следовательно, среди предложенных вариантов ответа правильным является ответ 80 км.

Пусть прямоугольник ABCD составлен из прямоугольников размера a × b. Тогда 3a = 4b, откуда a = 4/3 b. Тогда

AB : BC = (4b) : (a + b) = (4b) : (7/3 b) = 4/1 : 7/3 = 12/7.

В полученной неправильной смеси 1 лишний литр чёрной краски. Поэтому нужно отлить столько неправильной серой краски, чтобы при этом из раствора изъять 1 литр чёрной краски. В неправильном растворе в каждом литре содержится 3/5 чёрной краски. Поэтому, чтобы отлить 1 литр чёрной краски из этого раствора, нужно отлить 1 : 3/5 = 5/3 литра раствора.

Несколько по-другому ответ можно получить так. Нужно уменьшить объём чёрной краски на 1 литр из 3, т.е. на 1/3. Тогда и все 5 литров объёма неправильного раствора нужно уменьшить на треть, т.е. нужно отлить 5/3 литра раствора.

Пусть площади поверхности разных граней кирпича равны А, В и С.

Тогда

4A + 4B + 2C = 72,

4A + 2B + 4C = 96,

2A + 4B + 4C = 102.

Сложив все эти три уравнения, получим

10(A + B + C) = 270.

Тогда площадь поверхности одного кирпича равна

2(A + B + C) = 270 : 5 = 54 см².

В квадрате можно выделить 6 непересекающихся прямоугольников 1 × 4 и 4 × 1 (см. рис.1). Поэтому не менее 6 клеток должны быть окрашены.

С другой стороны, если окрасить 6 клеток так, как показано на рис.2, то все условия будут выполнены. Следовательно, правильным является ответ 6.

Если сегодня зебра говорит правду, то в предшествующий день она, действительно, врёт. Поэтому сегодня может быть только четверг. Если же зебра сегодня врёт, то предшествующий день должен быть днём, когда она говорит правду. Поэтому сегодня может быть только понедельник. Итак, по ответу зебры Маугли может заключить, что сегодня либо четверг, либо понедельник.

Аналогично, из ответа пантеры следует, что сегодня либо воскресенье (если пантера говорит правду), либо четверг (если пантера врёт).

Чтобы оба утверждения (и пантеры, и зебры) соответствовали условию задачи, сегодня должен быть день, который назвали и зебра, и пантера. Следовательно, сегодня четверг.

Пусть в начале на прямой было отмечено n точек. Тогда между соседними точками было (n – 1) промежутков. Поэтому на первом шаге Роман отметил (n – 1) точку, и их стало (2n – 1).

Аналогично, после второго шага их стало

2(2n – 1) – 1,

после третьего шага их стало

2(2(2n – 1) – 1) – 1,

наконец, после четвёртого шага их стало

2(2(2(2n – 1) – 1) – 1) – 1.

Раскрыв скобки, получим 16n – 15. Согласно условию, имеем уравнение 16n – 15 = 225, из которого n = 15.

Пусть искомый угол BAC равен α. По условию, треугольник ABD – равнобедренный. Поэтому ∠ABD = ∠BAD = α. Тогда

∠BDC = ∠ABD + ∠BAD = 2α

(как внешний угол треугольника ABD).

Так как, по условию, и треугольник EDC равнобедренный, его угол ∠DEC также равен 2α. Но этот угол является внешним углом равнобедренного треугольника BEC. Поэтому его внутренние углы ∠CBE = ∠BCE = (2α) : 2 = α. Тогда ∠ABC = 2α.

Так как треугольник ABC равнобедренный, его угол ∠ACB также равен 2α. Подсчитывая сумму углов треугольника ABC, получаем уравнение

α + 2α + 2α = 180°,

или 5α = 180°, откуда α = 36°.

Пусть в парке номер n обитает K_n кенгуру и C_n коал. По условию,

K₁ + K₂ + K₃ + K₄ + K₅ + K₆ + K₇ = 2022.

Пусть С = С₁ + С₂ + С₃ + С₄ + С₅ + С₆ + С₇ – количество коал во всех семи парках. Согласно условию, справедливы 7 равенств:

K₁ = C – C₁,   K₂ = C – C₂,   K₃ = C – C₃,   K₄ = C – C₄,   K₅ = C – C₅,   K₆ = C – C₆,   K₇ = C – C₇.

Сложив их, получим:

K₁ + K₂ + K₃ + K₄ + K₅ + K₆ + K₇ = 7С – (С₁ + С₂ + С₃ + С₄ + С₅ + С₆ + С₇),

или 2022 = 6C, откуда C = 2022 : 6 = 337.