Кенгуру Буслiк Зубренок Колосок Лингвистенок Журавлик Инфомышка Белка Глобусенок Синица Олимпионок Кентаврик
Служба спасения

Служба спасения Кенгуру       Кенгуру

вопрос Кенгуру-2015. 1-2 класс. Задача №24.

17.02.2017

Сергей Николаевич  

ответ    Ответ

Условие:

В пять клеток креста нужно вписать числа 3, 5, 7, 8 и 9 (каждое по одному разу) так, чтобы сумма трёх чисел в столбце равнялась сумме трёх чисел в строке. Какое число нужно вписать в центральную клетку?

kenguru2015

A) 3       Б) 5       В) 7       Г) 8       Д) 9

Ответ: Г) 8

Если прибавить к сумме трех чисел в строчке сумму трех чисел в столбце, тогда в результате получится четное число, так как, согласно условию, мы сложили равные суммы. С другой стороны, если сложить три числа в строчке с тремя числами в столбце, то получится сумма всех пяти данных чисел и еще одного данного числа, которое находится в центральной клетке. Сумма всех данных чисел равна

3 + 5 + 7 + 8 + 9 = 32

и, в частности, является четной. Чтобы, прибавив к ней еще одно число, получить четный результат, нужно прибавить четное число. Единственным четным числом среди данных является число 8. Следовательно, только оно может быть в центральной клетке.

Пример, удовлетворяющий условию, приведен на рисунке.

кенгуру2015

вопрос Кенгуру-2016. 5-6 класс. Задача №30

16.02.2017

Ольга  

ответ    Ответ

Условие:

Все 6 цифр у двух трёхзначных чисел различны. Первая цифра первого числа в два раза больше последней цифры второго числа. Какое наименьшее значение может иметь сумма таких двух чисел?

A) 552       Б) 546       В) 301       Г) 535       Д) 537

Ответ: Д) 537

Последняя цифра второго числа не может быть цифрой 0, иначе бы первое число начиналось цифрой 0, что невозможно. Если последняя цифра второго числа – цифра 1, то, согласно условию, первая цифра первого числа – цифра 2. Поскольку у чисел все цифры различны и число не может начинаться цифрой 0, наименьшее значение первой цифры второго числа – это 3. А тогда наименьшая сумма цифр во втором разряде данных двух чисел – это 0 + 4 = 4. В результате, в этом случае наименьшая сумма двух чисел, удовлетворяющих условию задачи, равна 301 + 245 = 546.

Если последняя цифра второго числа – цифра 2, то первая цифра первого числа – цифра 4. Тогда наименьшая цифра второго числа – это 1. А тогда наименьшая сумма цифр во втором разряде данных двух чисел – это 0 + 3 = 3. В результате, в этом случае наименьшая сумма двух чисел, удовлетворяющих условию задачи, равна 102 + 435 = 537, что меньше, чем в первом случае.

Если же последняя цифра второго числа – цифра 3 или больше, то первая цифра первого числа – цифра 6 или больше, и, значит, сумма двух чисел, удовлетворяющих условию, заведомо больше, чем в первых двух случаях.

Таким образом, наименьшая сумма – это сумма Д) 537.

вопрос Кенгуру 2016. 7-8 класс. Задача №19.

24.08.2016

Андрей  

ответ    Ответ

Условие:

keng2016

Семь игральных кубиков склеили по граням так, как показано на рисунке и так, что количества точек на каждой из двух склеенных гранях одинаковы. Чему равна сумма точек на поверхности полученного тела?

A) 24       Б) 90       В) 95       Г) 105       Д) 126

Ответ: Г) 105

Число точек на всех шести гранях одного кубика равно

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Тогда количество точек на всех семи кубиках, из которых склеена данная фигура, равно 21 · 7. Но невидимыми на поверхности фигуры являются точки на всех гранях внутреннего кубика, а также на гранях других кубиков, которые склеены с гранями внутреннего кубика.

Количество точек на гранях внутреннего кубика равно 21. Из условия следует, что количество точек на гранях других кубиков, которые склеены с гранями внутреннего кубика, такое же и также равно 21. Поэтому число точек на поверхности данной фигуры равно

21 · 7 - 21 · 2 = 21 · 5 = 105.

вопрос Кенгуру 2013. 1-2 класс. Задача №23.

14.03.2016

Мария  

ответ    Ответ

Условие:

Аня вырезала четыре маленьких кубика из углов большого куба как показано на рисунке.

kenguru

Сколько из следующих рисунков изображают поверхности полученной фигуры?

kenguru

A) 1      Б) 2      В) 3      Г) 4      Д) 5

Ответ: Г) 4 грани

Из верхней грани вырезано 2 диаметрально противоположных кубика. Поэтому, если посмотреть на кубик сверху, мы сможем увидеть вид на втором рисунке. На нижней грани также вырезано 2 кубика, но не диаметрально противоположных. Поэтому, посмотрев на кубик снизу, мы можем увидеть вид на четвёртом рисунке. Из левой грани вырезан только один кубик. Посмотрев слева на эту грань перпендикулярно, можно увидеть вид первого рисунка. Из правой грани вырезано 3 кубика. Поэтому, посмотрев на кубик справа, можно увидеть вид третьего рисунка. Итак, по крайней мере 4 рисунка изображают вид граней полученной фигуры. Но последний, пятый, рисунок не изображает ни одну из граней этой фигуры, поскольку ни у одной из граней не вырезано сразу 4 угловых кубика. Следовательно, правильный ответ - Г) 4.

вопрос Кенгуру 2014. 5-6 класс. Задача №30.

23.02.2016

Лиза  

ответ    Ответ

Условие:

У бабушки 10 внуков, и все они имеют различные возрасты. Алексей – самый старший из них. Однажды бабушка подсчитала, что сумма возрастов всех её внуков равна 180 (все возрасты – целые числа). Какой наименьший возраст может быть у Алексея?

A) 19 лет      Б) 20 лет      В) 21 год      Г) 22 года      Д) 23 года

Ответ: Д) 23 года

Так как сумма возрастов 10-и бабушкиных внуков равна 180 лет, то их средний возраст равен 180 : 10 = 18 лет. Покажем, что самому старшему из них могло быть 18 + 5 = 23 года. Действительно, все условия задачи выполняются, если возрасты внуков равны (в порядке возрастания):

18 - 5, 18 - 4, 18 - 3, 18 - 2, 18 - 1, 18 + 1, 18 + 2, 18 + 3, 18 + 4, 18 + 5.

С другой стороны, возраст старшего внука не может быть меньше 23 лет. Действительно, в противном случае сумма возрастов всех внуков не превосходит

22 + 21 + 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 = 175,

что противоречит условию: сумма возрастов всех внуков равна 180 лет. Таким образом, наименьший возраст старшего внука равен 23 годам.

вопрос Кенгуру 2015. 3-4 класс. Задача №22. Пожалуйста, объясните решение.

18.05.2015

Сергей  

ответ    Ответ

Условие:

На клетчатой бумаге отмечено 16 точек так, как показано на рисунке. Сколько всего существует не равных квадратов с вершинами в отмеченных точках?

kenguru2015

A) 2       Б) 3       В) 4       Г) 5       Д) 6

Ответ: Г) 5 квадратов

kenguru2015kenguru2015kenguru2015kenguru2015kenguru2015

вопрос Как решается задача №25 в Кенгуру за 2013 год 5-6 класс?

17.12.2014

Кирилл  

ответ    Ответ

Условие:

Сколько можно собрать различных кубиков 2 х 2 х 2 из 4-х белых и 4-х чёрных единичных кубиков? (Два куба 2 х 2 х 2, полученные указанным способом, считаются одинаковыми, если их можно "совместить" так, что совпавшие грани будут иметь одинаковую окраску)

A) 16      Б) 9      В) 8      Г) 7      Д) 6

Ответ: Г) 7 кубов

Пусть K – куб 2 х 2 х 2, составленный из 4-х белых и 4-х чёрных 1 х 1 х 1 кубиков. Тогда у него имеется грань, которая содержит не менее 2-х белых кубиков. В самом деле, например, верхняя и нижняя грани куба K вместе содержат все 4 белых кубика. Если бы в каждой из них было менее 2-х белых кубиков, то всего белых кубиков было бы не более 2-х, тогда как их 4. Поэтому если n – наибольшее число белых кубиков, содержащихся в гранях куба K, то n может быть равно только либо 4, либо 3, либо 2. Рассмотрим отдельно каждую из этих возможностей и найдём число различных кубов для каждой из этих возможностей. Предварительно повернём кубик K так, чтобы его грань, содержащая наибольшее число белых кубиков (или одна из таких граней, если их несколько), стала нижней.

Кенгуру       Кенгуру

Если n=4, то таких кубов K только один (см. рис. 1).

Если n=3, то повернём кубик K ещё и так, чтобы тот единственный чёрный кубик, который содержит его нижняя грань, стал передним правым (см. рис. 2). Тогда единственный белый кубик в верхней грани куба K может располагаться только четырьмя различными способами (см. рис. 3 – 6), на которых три чёрных кубика в верхней грани для удобства восприятия не показаны. Ясно, что кубы на рис. 3 и 4 различны: на рис. 3 есть белый кубик, соседний по граням с тремя белыми кубиками, а на рис. 4 такого белого кубика нет. Кубы на рис. 3 и 4 отличны от каждого из кубов на рис. 5 и 6: на рис. 5 и на рис. 6 есть по 2 белых кубика, соседних по грани ровно с двумя белыми кубиками, а на рис. 3 и 4 таких белых кубиков нет. Докажем, что кубы на рис. 5 и 6 также различны, т. е. что их нельзя совместить наложением.

Кенгуру

Обозначим куб на рис. 5 через K5, а на рис. 6 – через K6. Допустим, что, как-то повернув куб K5, можно совместить его с кубом K6. В частности, при этом какая-то из тех двух граней куба K5, которые содержат по 3 белых кубика, должна совместиться с нижней гранью куба K6. Этой гранью не может быть нижняя грань куба K5, поскольку при совмещении нижних граней кубов K5 и K6 белые кубики в верхних гранях не совпадут. Значит, такой гранью должна быть левая грань куба K5. Но, поставив куб K5 на левую грань (тогда в верхней грани окажется только один белый кубик, и поэтому чёрные кубики в верхней грани, как и ранее, на рисунке не показаны) и затем повернув его так, чтобы эта нижняя грань (бывшая левой) куба K5 совместилась с нижней гранью куба K6 (см. рис. 7), видим, что и в этом случае белые кубики в верхних гранях не совпадают. Поэтому кубы на рис. 5 и 6 не совмещаются наложением, а значит, в случае различных кубов ровно 4.

Кенгуру       Кенгуру

Если n=2, то повернём куб К ещё и так, чтобы один из 2-х чёрных кубиков в нижней грани стал передним правым. Тогда нижняя грань может быть только либо такой, как на рис. 8, либо такой, как на рис. 9. Такой же вид (с точностью до поворота), как на рис. 8 и 9, имеет и верхняя грань. Если нижняя грань такая, как на рис. 8, то верхняя грань не может быть такой, как на рис. 9: иначе нашлась бы грань, содержащая 3 белых кубика (но такой грани в рассматриваемом случае нет). Поэтому, если нижняя грань такая, как на рис. 8, то и верхняя грань с точностью до поворота такая же как на рис. 8. Значит, в этом случае имеем два возможных кубика – см. рис. 10 и 11. Ясно, что кубы на рис. 10 и 11 не совмещаются наложением: на рис. 11 есть пары соседних по грани белых кубиков, а на рис. 10 таких пар белых кубиков нет. Если же нижняя грань такая, как на рис. 9, то верхняя грань не может быть такой, как на рис. 8: иначе нашлась бы грань, содержащая 3 белых кубика. Поэтому, если нижняя грань такая, как на рис. 9, то и верхняя грань с точностью до поворота такая же, как на рис. 9. Кроме того, она может располагаться только так, как показано рис. 12. В противном случае нашлась бы грань, содержащая либо 3, либо 4 белых кубика. Но легко видеть, что кубы на рис. 12 и рис. 11 совмещаются наложением: поставив куб на рис. 11 на правую грань, получим куб на рис. 12. Поэтому в случае n=2, различных кубов ровно 2.

Кенгуру

Итак, из 4-х белых и 4-х чёрных 1 х 1 х 1 кубиков можно составить ровно 1 + 4 + 2 = 7 различных кубов 2 х 2 х 2, не совмещающихся наложением.

вопрос

Кенгуру-2014, №12 для 3-4 классов. Правильный ответ Г - 90, но подходит на мой взгляд и ответ А, из существующих мишеней не может получится и 60, а не только 90.

08.09.2014

Наталья  

ответ    Ответ

Условие:

Павел бросает дротики в мишень, разделённую на три сектора: 30, 50 и 70. В случае промаха он получает 0 очков. Павел бросил два дротика и сложил полученные очки. Какая сумма у него не могла получиться?

Варианты ответов:

A) 60      Б) 70      В) 80      Г) 90      Д) 100

Кенгуру

Ответ: Г) 90

Cумма, равная 60 получится, если Павел бросил 2 дротика и оба дротика попали в сектор 30 (30+30=60);

70 получится, если 1 дротик попал в сектор 70 и 1 промах;

80 получится, если 1 дротик попал в сектор 30 и 1 дротик попал в сектор 50;

100 получится, если оба дротика попали в сектор 50.

90 из предложенных чисел (30, 50, 70) не может получиться.

вопрос

Имеется шесть отрезков, длины которых 1 см, 2 см, 3 см, 2001 см, 2002 см и 2003 см. Нужно выбрать три из этих отрезков так, чтобы из них можно было составить треугольник. Сколько всего различных треугольников можно так получить?

Варианты ответов:

А) 1;     Б) 3;     В) 5;     Г) 6;     Д) более 10.

26.05.2013

Olenka  

ответ    Ответ

Ответ: Г) 6 треугольников

Из отрезков a≤b≤c можно составить треугольник, если и только если a+b>c. Поэтому для шести данных по условию отрезков либо c=2002, либо c=2003 (для остальных условие неравенства не выполняется).

Если c=2002, то таких треугольников два - это (2; 2001; 2002) и (3; 2001; 2002), а если c=2003, то таких треугольников четыре - это (2001; 2002; 2003), (2; 2002; 2003), (3; 2001; 2003) и (3; 2002; 2003).

Поэтому всего треугольников 2+4=6.