1
В нашей семье у каждого ребёнка по крайней мере 2 брата и по крайней мере 1 сестра. Какое наименьшее число детей может быть в нашей семье?
A) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7
2
Некоторые из колец на рисунке образуют цепочки. Сколько колец образуют самую длинную цепочку, содержащую серое кольцо (второе сверху)?
A) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7
3
Длины двух сторон треугольника равны 5 и 2, а длина третьей стороны – целое нечётное число. Найдите длину третьей стороны треугольника.
A) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7
4
Расстояние от спины кота, спящего на полу, до кончика уха кота, сидящего на столе, составляет 150 см. Расстояние от кончика уха кота, сидящего на полу, до спины кота, спящего на столе, составляет 110 см. Какова высота стола?
A) 110 см Б) 120 см В) 130 см Г) 140 см Д) 150 см
5
Сумма пяти последовательных натуральных чисел равна 102018. Чему равно среднее из этих чисел?
A) 102013 Б) 52017 В) 102017 Г) 22018 Д) 2·102017
6
Даны три равных правильных шестиугольника. Пусть X, Y и Z – площади их серых частей (первого, второго и третьего, соответственно). Какое из следующих соотношений верно?
A) X = Y = Z
Б) X ≠ Y = Z
В) Z = X ≠ Y
Г) X = Y ≠ Z
Д) все различны
7
Маша собрала в саду 42 яблока, 60 абрикосов и 90 вишен. Она хочет разделить все их на несколько одинаковых по составу частей, чтобы затем угостить своих друзей. Какое наибольшее количество таких частей у неё может получиться?
A) 3 Б) 6 В) 10 Г) 14 Д) 42
8
Некоторые из цифр в примере на сложение заменили буквами P, Q, R и S. Чему равна сумма P + Q + R + S?
A) 14 Б) 15 В) 16 Г) 17 Д) 24
9
Чему равна сумма 25% от 2018 и 2018% от 25?
A) 1009 Б) 2016 В) 2018 Г) 3027 Д) 5045
10
Сколько существует различных путей от пункта A до пункта В на схеме, если передвигаться можно только в направлении стрелок?
A) 20 Б) 16 В) 12 Г) 9 Д) 6
11
Два здания расположены на одной улице на расстоянии 250 метров друг от друга. В первом здании проживает 100 жителей, а во втором – 150. Где между зданиями нужно установить автобусную остановку, чтобы общее расстояние, которое все жители обоих зданий должны проходить от своих зданий до этой остановки, было бы наименьшим?
A) напротив первого здания
Б) 100 м от первого здания
В) 100 м от второго здания
Г) напротив второго здания
Д) в любой точке между зданиями
12
В ряд записали 105 чисел: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … (каждое число n записано n раз). Сколько из этих чисел делятся на 3?
A) 4 Б) 12 В) 21 Г) 30 Д) 45
13
Восемь одинаковых полуокружностей вписаны в квадрат со стороной 4 так, как показано на рисунке. Чему равна площадь белой части квадрата?
A) 2π
Б) 8
В) 6 + π
Г) 3π
- 2
Д) 3π
14
Однажды 40 поездов курсировали между пятью городами M, N, O, P и Q. Для каждого из четырёх городов M, N, O и P сумма числа прибывших и числа убывших поездов оказалась равна 10. Чему равна такая же сумма для города Q?
A) 0 Б) 10 В) 20 Г) 30 Д) 40
15
В гуманитарном университете преподают языки, историю и философию. 35% студентов, изучающих языки, изучают английский. 13% студентов университета изучают язык, отличный от английского. Ни один из студентов не изучает более одного языка. Сколько процентов студентов университета изучает языки?
A) 13% Б) 20% В) 22% Г) 48% Д) 65%
16
Петя хотел купить книгу, но денег у него не было. Поэтому он попросил денег у отца и двух братьев. Отец дал ему половину от суммы, которую дали братья. Старший брат дал ему треть от того, что дали остальные. Младший брат дал ему 10 руб. Сколько стоила книга?
A) 24 руб Б) 26 руб В) 28 руб Г) 30 руб Д) 32 руб
17
Сколько всего существует трёхзначных чисел, обладающих свойством: если стереть среднюю цифру, то получится двузначное число, в 9 раз меньшее исходного?
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5
18
Сколько слагаемых 20182 расположено под знаком квадратного корня в правильном равенстве
√20182 + 20182 + ... + 20182 = 201810 ?
A) 5 Б) 8 В) 18 Г) 20188 Д) 201818
19
Сколько цифр имеет число, являющееся значением выражения
102018·(102018 - 1) : 9 ?
A) 2017 Б) 2018 В) 4035 Г) 4036 Д) 4037
20
Правильный 2018-угольник с вершинами, пронумерованными по ходу часовой стрелки числами от 1 до 2018, разбили диагоналями на три многоугольника. Одна диагональ соединяет вершины с номерами 18 и 1018, а другая – вершины с номерами 1018 и 2000. Сколько вершин имеют полученные три многоугольника?
A) 38, 983, 1001
Б) 37, 983, 1001
В) 38, 982, 1001
Г) 37, 982, 1000
Д) 37, 983, 1002
21
На доске записано несколько целых чисел, включая число 2018. Сумма всех чисел равна 2018. Произведение всех чисел также равно 2018. Какое общее количество чисел может быть записано на доске?
A) 2016 Б) 2017 В) 2018 Г) 2019 Д) 2020
22
Даны четыре числа. Рассмотрим сумму одного из них и среднего арифметического трёх других. Такие суммы можно вычислить четырьмя способами, и они равны 17, 21, 23 и 29. Чему равно наибольшее из данных чисел?
A) 12 Б) 15 В) 21 Г) 24 Д) 29
23
Точки А1, А2, А3, ... лежат на прямой. Известно, что А1А2=1 и для любого натурального n точка Аn является серединой отрезка Аn+1Аn+2. Чему равна длина отрезка А1А12 ?
A) 171 Б) 341 В) 512 Г) 587 Д) 683
24
Две концентрические окружности радиуса 1 и 9 образуют кольцо. В кольцо вписали n непересекающихся окружностей, каждая из которых касается внешней и внутренней границы кольца (так, как показано на рисунке, где n = 2). Найдите наибольшее возможное значение n.
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5
25
Вася хочет записать числа в вершины правильного 18-угольника так, чтобы каждое число равнялось сумме чисел в двух соседних вершинах. Два числа он уже вписал так, как показано на рисунке. Какое число он должен записать в вершине A?
A) 2018 Б) -20 В) 18 Г) 38 Д) -38
26
Диана нарисовала прямоугольную таблицу, состоящую из 12 клеток. Некоторые из клеток она окрасила в чёрный цвет. В каждой неокрашенной клетке она записала число соседних с ней по стороне чёрных клеток (см. рис.). Представим, что она сделает то же самое с таблицей, состоящей из 2018 клеток. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех чисел в такой таблице?
A) 1262 Б) 2016 В) 2018 Г) 3025 Д) 3027
27
Семь единичных кубиков были удалены из куба 3 × 3 × 3 так, как показано на рисунке. Как выглядит сечение оставшейся части куба, проходящее через его центр перпендикулярно одной из четырёх больших диагоналей?
28
Петя хочет вписать числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 в таблицу 2 × 3 так, чтобы суммы чисел во всех строчках и всех столбцах были кратны 3. Сколько существует различных способов это сделать?
A) 36 Б) 42 В) 45 Г) 48 Д) другой ответ
29
Эдуард склеил большой куб из нескольких одинаковых кубиков, а затем он окрасил несколько его граней. Его сестра Николь уронила куб, и он распался на исходные кубики. Ровно 45 из этих кубиков оказались полностью неокрашенными. Сколько граней большого куба окрасил Эдуард?
A) 2 Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 6
30
В круге с диаметром AD проведены хорды AB и AC. Известно, что ∠BAC=60°, ВЕ ⊥ АС, АВ=24 см, ЕС=3 см. Найдите длину хорды BD.
A) √3 Б) 2 В) 3 Г) 2√3 Д) 3√2