2

Мама постирала носки и футболки, всего 29 штук, и попросила детей развесить их на верёвке так, чтобы между любыми двумя футболками висел ровно один носок. Дети выполнили это поручение. Сколько футболок находится на верёвке?

A) 10       Б) 11       В) 13       Г) 14       Д) 15

3

Найдите площадь серой части квадрата со стороной a. Здесь все дуги – дуги окружностей с центрами в серединах соответствующих сторон данного квадрата.

A) (πa²)/8

Б) a²/2

В) (πa²)/2

Г) a²/4

Д) (πa²)/4

4

Три сестры Аня, Вера и Света купили 30 конфет. Каждой досталось по 10 конфет. Но Аня заплатила 8 тыс. руб., Вера – 5 тыс. руб., а Света – 2 тыс. руб. На сколько больше конфет досталось бы Ане, если бы конфеты были поделены пропорционально внесённой плате?

A) 10       Б) 9       В) 8       Г) 7       Д) 6

5

Мистер Хайд хочет откопать клад, который он зарыл в своем саду много лет назад. Но он забыл его точное место расположения и лишь помнит, что зарыл клад не далее 5 м от старого дерева, но не ближе 5 м от каменной ограды. Какой из следующих рисунков наиболее точно показывает территорию, на которой находится клад?

6

Какой цифрой заканчивается значение выражения 2015⁰ + 2015¹ + 2015² + 2015⁵ ?

A) 1       Б) 5       В) 6       Г) 7       Д) 9

7

В классе 33 ученика. Когда их спросили о любимых предметах, то были названы математика и физкультура. Трое учеников назвали оба предмета. Число тех, кто назвал только математику, в 2 раза больше числа тех, кто назвал только физкультуру. Сколько всего учеников этого класса любят математику?

A) 15       Б) 18       В) 20       Г) 22       Д) 23

8

Какое из следующих чисел не является ни квадратом, ни кубом натурального числа?

A) 3¹⁰       Б) 5¹²       В) 4¹¹       Г) 6¹³       Д) 2⁹

9

Мистер Кэндл купил 100 свечей. Он сжигает одну свечу каждый день и делает одну новую свечу из остатка воска от семи сожжённых. Через сколько дней у него не останется ни одной свечи?

A) 112       Б) 114       В) 115       Г) 116       Д) 117

10

Число прямых углов в выпуклом пятиугольнике равно n. Укажите все возможные значения n.

A) 1, 2, 3

Б) 0, 1, 2, 3, 4

В) 0, 1, 2, 3

Г) 0, 1, 2

Д) 1, 2

11

На рисунке показан вид одного и того же кубика с трёх разных позиций. Какова вероятность, что выпадет YES, если подбросить этот кубик?

12

Длина стороны каждой клетки на рисунке справа равна 1. Чему равна наименьшая длина пути по сторонам и диагоналям клеток от точки S до точки F?

A) 2√5       Б) √10 + √2       В) 2 + 2√2       Г) 4√2       Д) 6

13

У каждого марсианина не менее двух ушей. Однажды встретились марсиане Имми, Димми и Тримми и посмотрели друг на друга. Имми сказал: «Я вижу 8 ушей». Димми сказал: «Я вижу 7 ушей». Тримми сказал: «А я вижу только пять ушей». Ни один марсианин не может видеть собственных ушей. Сколько ушей у Тримми?

A) 2       Б) 4       В) 5       Г) 6       Д) 7

14

Сосуд в форме прямой призмы, основание которой – квадрат со стороной 10 см, заполнен водой до высоты h см. Твёрдый куб со стороной 2 см поставлен на дно призмы. При каком наименьшем значении h куб будет полностью погружён в воду?

A) 1,92 см       Б) 1,93 см       В) 1,94 см       Г) 1,91 см       Д) 1,90 см

15

Площадь квадрата ABCD равна 80. На его сторонах отмечены точки E, F, G, и H (см. рис.), такие, что

AE = BF = CG = DH = 3 · HA

Чему равна площадь серой части данного квадрата?

A) 20       Б) 25       В) 30       Г) 35       Д) 40

16

Произведение возрастов (целые числа) отца и сына равно 2015. Чему может быть равна разность их возрастов?

A) 26       Б) 29       В) 30       Г) 34       Д) 36

17

Четыре груза a, b, c и d лежали на чашах весов, которые не были уравновешены (см. рис.). После того, как два груза поменяли местами, положение чаш изменилось так, как показано на рисунке. Какие грузы поменяли местами?

A) a и b

Б) b и d

В) b и c

Г) a и d

Д) a и c

18

Известно, что корни квадратного уравнения

x² - 85x + c = 0

являются простыми числами. Чему равна сумма цифр числа c?

A) 12       Б) 13       В) 14       Г) 15       Д) 21

19

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых любые две соседние цифры отличаются на 3?

A) 12       Б) 14       В) 16       Г) 20       Д) 27

20

Какое из следующих чисел является контрпримером к утверждению: если n – простое число, тогда ровно одно из чисел n - 2 и n + 2 является простым?

A) n = 11       Б) n = 19       В) n = 21       Г) n = 29       Д) n = 37

21

Три круга определяют семь ограниченных областей на плоскости (см. рис.). В каждую из них нужно вписать число так, чтобы каждое из этих чисел равнялось сумме всех чисел в соседних областях. (Две области считаются соседними, если их границы имеют более одной общей точки.) Два числа уже вписаны, как показано на рисунке. Какое число должно быть вписано в центральной области?

A) 0       Б) -3       В) 3       Г) -6       Д) 6

22

Пéтра имеет два различных словаря и три различных учебника. Сколько существует способов расставить их на полке в ряд так, чтобы все учебники стояли друг за другом и словари стояли друг за другом?

A) 12       Б) 24       В) 30       Г) 60       Д) 120

23

Сколько существует двузначных чисел, которые можно представить в виде суммы ровно шести различных степеней числа 2, включая 2⁰?

A) 0       Б) 1       В) 2       Г) 3       Д) 4

24

В треугольнике ABC провели отрезки параллельно стороне AC: один раз через точку Х, а другой раз через точку Y (см рис.). Оказалось, что площади заштрихованных фигур равны. Чему равно отношение BY : YA, если BX : XA = 4 : 1 ?

A) 1 : 1       Б) 2 : 1       В) 3 : 1       Г) 3 : 2       Д) 4 : 3

25

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки 1 и 2. Какова длина биссектрисы?

A) √2       Б) √3       В) √4       Г) √5       Д) √6

26

Сколько существует способов выбрать различные цифры a, b, c, так чтобы для следующих двузначных чисел выполнялись неравенства ab < bc < ca ?

A) 84       Б) 96       В) 125       Г) 201       Д) 402

27

Когда одно из чисел 1, 2, 3, …, n вычеркнули, среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно 4,75. Какое число вычеркнули?

A) 6       Б) 7       В) 8       Г) 9       Д) невозможно определить

28

Муравей ползает по рёбрам куба со стороной 1. Чему равна длина его кратчайшего пути, который начинается и заканчивается в одной вершине и проходит по всем рёбрам этого куба?

A) 12       Б) 14       В) 15       Г) 16       Д) 18

29

На доске записано десять различных чисел. Каждое из этих чисел, равное произведению остальных девяти чисел, подчёркнуто. Какое наибольшее количество чисел может быть подчёркнуто?

A) 1       Б) 2       В) 3       Г) 9       Д) 10

30

На прямой отмечено несколько точек. Рассмотрим все возможные отрезки с концами в отмеченных точках. Одна из отмеченных точек находится внутри 80 из этих отрезков, а другая – внутри 90 отрезков. Сколько точек отмечено на прямой?

A) 20       Б) 22       В) 28       Г) 32       Д) невозможно определить