2

У Карлы, Эмилии и Лилии день рождения в один и тот же день. В этом году им вместе в их день рождения исполнилось 44 года. Сколько лет им будет вместе в следующий ближайший день рождения, когда их суммарный возраст снова будет выражаться числом, состоящим из одинаковых цифр?

A) 55      Б) 66      В) 77      Г) 88      Д) 99

3

Какое значение принимает выражение a^-3b, если известно, что a^b = 0,5?

A) 8^-1      Б) 8      В) -8      Г) 6      Д) 6^-1

4

В трех коробках разного размера находится 48 шаров. В большей и меньшей коробках вместе число шаров в 2 раза больше, чем в средней коробке, а в средней число шаров в 2 раза больше, чем в меньшей. Сколько шаров находится в большей коробке?

A) 16      Б) 20      В) 24      Г) 30      Д) 32

5

Чему равно значение выражения ?

A) 2²⁰¹¹      Б) 2²⁰¹²      В) 2²⁰¹³      Г) 1      Д) 2

6

Какое из следующих выражений после разложения на множители не может иметь множитель (b + 1)?

A) 2b + 2      Б) b² – 1      В) b² + b      Г) –b – 1      Д) b² + 1

7

Сколько цифр имеет десятичная запись числа (2²²)⁵·(5⁵⁵)²?

A) 22      Б) 55      В) 77      Г) 110      Д) 111

8

У Красавчика Гарри есть секретный электронный адрес, который знают только четыре его друга. Сегодня он получил на этот адрес 8 электронных писем. Какое из следующих утверждений непременно является верным?

A) Гарри получил по 2 письма от каждого своего друга

Б) Гарри не мог получить 8 писем от одного друга

В) Гарри получил по крайней мере одно письмо от каждого друга

Г) Гарри получил по крайней мере два письма от кого-то из друзей

Д) Гарри получил по крайней мере по 2 письма от двух различных друзей

9

Боковые поверхности двух одинаковых цилиндров разрезали по образующим и склеили из них боковую поверхность большего цилиндра, как показано на рисунке. Во сколько раз объём этого цилиндра больше объёма одного исходного цилиндра?

A) в 2 раза       Б) в 3 раза       В) в π раз       Г) в 4 раза      Д) в 8 раз

10

В числе года 2014 все цифры различны и последняя цифра больше суммы трёх остальных цифр. Сколько лет прошло с тех пор, когда предыдущий раз номер года имел такие же свойства?

A) 5      Б) 215      В) 305      Г) 395      Д) 485

11

Прямоугольная коробка имеет размеры a×b×c, причем a<b<c. Если увеличить один из размеров (либо a, либо b, либо с) на фиксированное положительное число, то объём коробки также увеличится. В каком случае он увеличится больше всего?

A) если увеличить a

Б) если увеличить b

В) если увеличить c

Г) во всех случаях увеличится одинаково

Д) зависит от значений a, b, с

12

В футбольном турнире приняли участие 4 команды: A, B, C и D. Каждая команда сыграла с каждой другой по одному матчу. Команда A набрала 7 очков, а команды B и C – по 4 очка. Сколько очков набрала команда D? (За победу в футбольном матче присуждается 3 очка, за поражение – 0 очков, за ничью участники матча получают по 1 очку.)

A) 0      Б) 1      В) 2      Г) 3      Д) 4

13

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 1:3. Отрезок AC – диаметр большей окружности, а BC – её хорда, которая касается меньшей окружности (см. рис.). Найдите радиус большей окружности, если известно, что AB = 12.

A) 15      Б) 18      В) 21      Г) 24      Д) 30

14

Сколько всего существует троек целых чисел (a, b, с), таких, что a > b > c >  1    и    ?

A) 0      Б) 1      В) 2      Г) 3      Д) бесконечно много

15

Пусть n – натуральное число, a, b, с – ненулевые действительные числа, такие, что числа (-2)²ⁿ⁺³ a²ⁿ⁺² b²ⁿ⁺¹ с³ⁿ⁺²    и    (-3)²ⁿ⁺² a⁴ⁿ⁺¹ b²ⁿ⁺⁵ с^3n-4    имеют одинаковые знаки. Тогда непременно:

A) a > 0      Б) b > 0      В) c > 0      Г) a < 0      Д) b < 0

16

Шесть недель состоят из n! секунд. Чему равно n? (n! = 1·2·3·...·n.)

A) 6      Б) 7      В) 8      Г) 10      Д) 12

17

Числа от 1 до 8 записаны в вершинах куба так, что суммы чисел на всех гранях одинаковые. Расположение чисел 1, 4 и 6 показано на рисунке. Найдите значение x.

A) 2      Б) 3      В) 5      Г) 7      Д) 8

18

Этикетка на упаковке сыра указывает, что его жирность составляет 24% от общего веса. На этой же этикетке указано, что в сухом веществе сыра жир составляет 64%. Сколько процентов воды содержится в сыре?

A) 88%      Б) 62,5%      В) 49%      Г) 42%      Д) 37,5%

19

Прямая l проходит через вершину A прямоугольника ABCD и находится на расстоянии 2 от вершины C и на расстоянии 6 от вершины D. Найдите AD, если известно, что AD:AB = 2:1

A) 10      Б) 12      В) 14      Г) 16      Д) 4√3

20

Функция f(x) = ax + b удовлетворяет равенствам f(f(f(1))) = 29 и f(f(f(0))) = 2. Определите значение a.

A) 1      Б) 2      В) 3      Г) 4      Д) 5

21

Имеется 10 различных натуральных чисел. Ровно 5 из них делятся на 5, и ровно 7 из них делятся на 7. Пусть M – наибольшее из этих десяти чисел. Какое наименьшее значение может принимать M?

A) 105      Б) 77      В) 75      Г) 70      Д) 63

22

В прямоугольнике PQRS точка T – середина стороны RS и QT⊥PR. Найдите отношение PQ:QR.

A) 2 :1       Б) √3 : 1      В) 3 : 2      Г) √2 : 1      Д) 5 : 4

23

Имеется 9 кенгуру: некоторые из них – рыжие, остальные – серые. Если случайно встретятся трое из этих кенгуру, то имеется два шанса из трёх, что среди них нет ни одного серого кенгуру. Сколько всего рыжих кенгуру среди данных девяти кенгуру?

A) 1      Б) 3      В) 5      Г) 6      Д) 8

24

Найдите сторону квадрата, если известно, что две его вершины лежат на двух касающихся друг друга окружностях радиуса 1, а две другие вершины – на общей касательной к этим окружностям (см. рис.).

A) 2/5      Б) 1/4      В) 1/√2      Г) 1/5      Д) 1/2

25

Дима записал несколько различных натуральных чисел, не превосходящих 100. Известно, что их произведение не делится на 54. Какое наибольшее количество чисел мог записать Дима?

A) 8      Б) 17      В) 68      Г) 69      Д) 80

26

Правильный 15-гольник ABCD… и правильный n-угольник ABZY… имеют общую сторону AB длины 1. При каком значении n расстояние между точками C и Z равно 1?

A) 10      Б) 12      В) 15      Г) 16      Д) 18

27

При некоторых натуральных k, m и n выполняются равенства

k = (2014 + m)^1/n = 1024^1/n + 1.

Сколько значений может принимать k?

A) ни одного      Б) 1      В) 2      Г) 3      Д) бесконечно много

28

На рисунке показана замкнутая ломаная, вершины которой являются серединами рёбер куба. Будем называть углы между соседними звеньями внутренними углами ломаной. Чему равна сумма всех внутренних углов данной ломаной?

A) 720°      Б) 1080°      В) 1200°      Г) 1440°      Д) 1800°

29

Функция удовлетворяет условиям f(4)=6 и x·f(x)=(x-3)·f(x+1). Найдите значение произведения f(4)f(7)f(10)...f(2011)f(2014).

A) 2013      Б) 2014      В) 2013·2014      Г) 1·2·3·...·2013      Д) 1·2·3·...·2014

30

В лесах волшебного острова бродят три вида животных: львы, волки и овцы. Волки могут есть овец, а львы могут есть и овец, и волков. Однако, поскольку это волшебный остров, то если волк съест овцу, он превращается во льва, если лев съест овцу, то превращается в волка, а если лев съест волка, то превращается в овцу. Первоначально на острове было 17 овец, 55 волков и 6 львов. Какое максимально возможное число животных может остаться на острове после того, как никакое животное не может больше съесть ни одного другого животного?

A) 1      Б) 6      В) 17      Г) 23      Д) 35